Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
T J
O
c
D
Q
k D
O
rs]
(y)
X I
OJ
>Q .
O
U
p r e m iè r e défin ition rig o u reu se d e la co n tin u ité (q u el qu e s o it s , il existe q te l que...},
d e r in té g r a le défin ie : les so m m e s d ite s d e R iem an n a u ra ie n t p u p o r te r son nom .
L a th é o rie d e s fo n ctio n s h o lo m o rp h es lui d o it se s fo n d em en ts. Q u an t au x sy stè m e s
différen tiels, V im p o rta n te n o tio n d e d éterm in ism e e s t é tro item e n t a sso c ié e au th é o
rèm e d e C a u ch y - L ipsch itz, d o n t la fo rm u la tio n in itia le d a te d e 1820. Toujours d a n s
le d o m a in e d e s sy tè m e s d yn a m iq u es, C a u ch y a a p p o r té sa co n trib u tio n à la th éo rie
d e s p e rtu rb a tio n s, d o n c à l ’a n a ly se d ’un p r o b lè m e p h a re p o u r les m a th ém a ticien s e t
a stro n o m es d e p u is le XVIII^' s iè c le : la s ta b ilité du sy stè m e sola ire.
Un exemple de 7(xo) borné : le système non-linéaire suivant : x — \ +
fournit
un exemple très simple (la dimension de l’espace d’états est « = 1) d’intervalle J{xçt)
borné. On a en effet :
d x
1 -h
r
J XQ
d x
1 H- x^
- t - tQ et, si ro = 0 •
arctan X - arctan xq = t. D ’où : x = tan(r arctan xq). Il apparaît ainsi que :
/(-^o) =] - ^/2 - arctan xo, 7t/ 2 - arctan xo[.
Par exemple, /(0) =] - ;r/2, ;r/2[ et J {-\) =] - 7t/4, 3;r/4[ (ce qui correspond à
arctan xo =
Le caractère borné de J provient ici de la nature de la fonction
x (t) : il s’agit d’une fonction tangente, prenant toute valeur réelle lorsque la variable
décrit un intervalle ouvert de longueur n. A la borne supérieure de 7, le module de
X tend vers l’infini : on dit que la solution explose, ou qu’elle connaît une mort
explosive.
M o rt
e x p lo s iv e
Figure 1.2- Un système monodimensionnel explosif.
On peut aussi qualifier le comportement du système lorsque t
^
naissance implosive.
On peut généraliser l’emploi des deux adjectifs par les définitions suivantes, dans
lesquelles a e Cï, les temps r,- initial et t f final, étant f in is :
• il y a naissance implosive si lim^^^+ ||x(0ll =
;
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p r e m iè r e défin ition rig o u reu se d e la co n tin u ité (q u el qu e s o it s , il existe q te l que...},
d e r in té g r a le défin ie : les so m m e s d ite s d e R iem an n a u ra ie n t p u p o r te r son nom .
L a th é o rie d e s fo n ctio n s h o lo m o rp h es lui d o it se s fo n d em en ts. Q u an t au x sy stè m e s
différen tiels, V im p o rta n te n o tio n d e d éterm in ism e e s t é tro item e n t a sso c ié e au th é o
rèm e d e C a u ch y - L ipsch itz, d o n t la fo rm u la tio n in itia le d a te d e 1820. Toujours d a n s
le d o m a in e d e s sy tè m e s d yn a m iq u es, C a u ch y a a p p o r té sa co n trib u tio n à la th éo rie
d e s p e rtu rb a tio n s, d o n c à l ’a n a ly se d ’un p r o b lè m e p h a re p o u r les m a th ém a ticien s e t
a stro n o m es d e p u is le XVIII^' s iè c le : la s ta b ilité du sy stè m e sola ire.
Un exemple de 7(xo) borné : le système non-linéaire suivant : x — \ +
fournit
un exemple très simple (la dimension de l’espace d’états est « = 1) d’intervalle J{xçt)
borné. On a en effet :
d x
1 -h
r
J XQ
d x
1 H- x^
- t - tQ et, si ro = 0 •
arctan X - arctan xq = t. D ’où : x = tan(r arctan xq). Il apparaît ainsi que :
/(-^o) =] - ^/2 - arctan xo, 7t/ 2 - arctan xo[.
Par exemple, /(0) =] - ;r/2, ;r/2[ et J {-\) =] - 7t/4, 3;r/4[ (ce qui correspond à
arctan xo =
Le caractère borné de J provient ici de la nature de la fonction
x (t) : il s’agit d’une fonction tangente, prenant toute valeur réelle lorsque la variable
décrit un intervalle ouvert de longueur n. A la borne supérieure de 7, le module de
X tend vers l’infini : on dit que la solution explose, ou qu’elle connaît une mort
explosive.
M o rt
e x p lo s iv e
Figure 1.2- Un système monodimensionnel explosif.
On peut aussi qualifier le comportement du système lorsque t
^
naissance implosive.
On peut généraliser l’emploi des deux adjectifs par les définitions suivantes, dans
lesquelles a e Cï, les temps r,- initial et t f final, étant f in is :
• il y a naissance implosive si lim^^^+ ||x(0ll =
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