1 . 2
T h é o r è m e D E C a u c h y - L i p s c h i t z
1.2.1
Le t h é o r è m e
Le théorème de Cauchy (ou de Cauchy-Lipschitz) indique que pour toute solution
initiale xq e Q le système différentiel x = f{x) a une s o lu tio n u n iq u e .
Il fait l’objet de l’annexe 3 et s’exprime ainsi :
Théorème de Cauchy-Lipschitz
S o it (E ) V éq u a tio n d ifféren tielle x = f(x), où f e s t une fo n c tio n lo c a le m en t lipsch itzien n e su r un d o m a in e Q d e R” e t à v a leu rs d a n s R'^.
A lo rs, p o u r to u t xq g
il ex iste une so lu tio n m a x im a le un ique d e (E ) s a tisfa isa n t
x(0) = XQ.
1.2. Théorème de Cauchy-Lipschitz
-O
O
c
a
O
rsj
03
>
C L
O
U
• Notons que l’hypothèse (que nous ferons souvent) que f est de classe
est plus
exigeante que celle du théorème de Cauchy, car :
/ de classe C* = > / localement lipschitzienne (voir l’exercice 1.5).
• Qu’est-ce qu’une solution maximale ? Pour chaque condition initiale xq, on peut
choisir un intervalle de temps ouvert J(xq) maximal au sens de l’inclusion, donc
hors duquel la solution x(r) sort de H ou n’est pas définie. On peut appeler / ( xq)
plage temporelle de xq. La solution x(t) correspondante est elle-même dite maximale. Dans de nombreux cas, / = R ou R+.
• On dit que deux trajectoires x\ et X2 se coupent s’il existe un temps r tel que
X|(r) = X2(r). Mais dans ce cas-là, le caractère autonome du système permet dans
le théorème de Cauchy de remplacer x(0) = 0 par x(r) = 0, ce qui montre que deux
trajectoires qui se coupent sont identiques. L’exercice 1.6 montre que ce résultat
est faux si / n’est pas localement lipschitzienne.
• Pour les systèmes linéaires, / étant alors un endomorphisme de R”, on a Î2 = R'^
I
Les solutions étant des exponentielles matricielles (chapitres suivants), on a : Vxq g
I
R”, 7(xo) = R. Pour des systèmes non-linéaires, des contre-exemples simples (on
I
en donne un ci-après) montrent que J(xo) peut être distinct de R.
'C c
1 • On peut exprimer le théorème de Cauchy d’une façon différente en disant qu’à un
I
présent donné correspondent un passé unique et un avenir unique, ce qui définit le
I
déterminisme. On se reportera à l’annexe 3.
'c
o -
P
I I n te rm è d e h is to riq u e : C au c h y , u n m a th é m a tic ie n prolifique
Q
©
A u gu stin C auchy, m a th ém a ticien fr a n ç a is (1 7 8 9 -1 8 5 7 ), a a p p o r té une co n trib u tio n
fo n d a m e n ta le à tou s les sec te u rs d e s m a th ém a tiq u es d e son tem ps. N ou s lui d e vo n s la
T h é o r è m e D E C a u c h y - L i p s c h i t z
1.2.1
Le t h é o r è m e
Le théorème de Cauchy (ou de Cauchy-Lipschitz) indique que pour toute solution
initiale xq e Q le système différentiel x = f{x) a une s o lu tio n u n iq u e .
Il fait l’objet de l’annexe 3 et s’exprime ainsi :
Théorème de Cauchy-Lipschitz
S o it (E ) V éq u a tio n d ifféren tielle x = f(x), où f e s t une fo n c tio n lo c a le m en t lipsch itzien n e su r un d o m a in e Q d e R” e t à v a leu rs d a n s R'^.
A lo rs, p o u r to u t xq g
il ex iste une so lu tio n m a x im a le un ique d e (E ) s a tisfa isa n t
x(0) = XQ.
1.2. Théorème de Cauchy-Lipschitz
-O
O
c
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O
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03
>
C L
O
U
• Notons que l’hypothèse (que nous ferons souvent) que f est de classe
est plus
exigeante que celle du théorème de Cauchy, car :
/ de classe C* = > / localement lipschitzienne (voir l’exercice 1.5).
• Qu’est-ce qu’une solution maximale ? Pour chaque condition initiale xq, on peut
choisir un intervalle de temps ouvert J(xq) maximal au sens de l’inclusion, donc
hors duquel la solution x(r) sort de H ou n’est pas définie. On peut appeler / ( xq)
plage temporelle de xq. La solution x(t) correspondante est elle-même dite maximale. Dans de nombreux cas, / = R ou R+.
• On dit que deux trajectoires x\ et X2 se coupent s’il existe un temps r tel que
X|(r) = X2(r). Mais dans ce cas-là, le caractère autonome du système permet dans
le théorème de Cauchy de remplacer x(0) = 0 par x(r) = 0, ce qui montre que deux
trajectoires qui se coupent sont identiques. L’exercice 1.6 montre que ce résultat
est faux si / n’est pas localement lipschitzienne.
• Pour les systèmes linéaires, / étant alors un endomorphisme de R”, on a Î2 = R'^
I
Les solutions étant des exponentielles matricielles (chapitres suivants), on a : Vxq g
I
R”, 7(xo) = R. Pour des systèmes non-linéaires, des contre-exemples simples (on
I
en donne un ci-après) montrent que J(xo) peut être distinct de R.
'C c
1 • On peut exprimer le théorème de Cauchy d’une façon différente en disant qu’à un
I
présent donné correspondent un passé unique et un avenir unique, ce qui définit le
I
déterminisme. On se reportera à l’annexe 3.
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P
I I n te rm è d e h is to riq u e : C au c h y , u n m a th é m a tic ie n prolifique
Q
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A u gu stin C auchy, m a th ém a ticien fr a n ç a is (1 7 8 9 -1 8 5 7 ), a a p p o r té une co n trib u tio n
fo n d a m e n ta le à tou s les sec te u rs d e s m a th ém a tiq u es d e son tem ps. N ou s lui d e vo n s la