Chapitre 1 • Généralités sur les systèmes différentiels
E x e r c ic e 1.2 D es p o rtra its de p h a se s
Tracer les portraits de phases des systèmes suivants, dont l’état est défini sur c
:
1. C ro is s a n c e d^une p o p u la tio n : en environnement infini, une population jc croît
selon i = Q'^oùa>0 (croissance malthusienne).
Si l’environnement est fini (aire, ressources, ...), la population jc ne peut pas
dépasser une certaine valeur. Moyennant un choix convenable des unités, elle
satisfait l’équation logistique proposée par l’économiste François Verhulst :
i: = x ( l — x), avec Cl =]0, 1[. On tracera le portrait de phases de l’équation
logistique sans la résoudre analytiquement, avec il = R (noter que seul O = R+
a une interprétation démographique).
2. U n s y s tè m e u n id im e n s io n n e l :
x = x { x - 1) (x - 2) (x - 3) (jf - 4) avec O = R.
3. D e u x s y s tè m e s b id im e n s io n n e ls [avec z = | ^|] :
.yi
(a) Z = I
j Z, avec O = R^
(b) Z = IQ
O = R^
4. U n s y s tè m e 2 -D :
l ) . ( p < . - p > )
(représentation dans R^, en coordonnées polaires).
T J
O
c
rj
û
« J D
O
rsl
ai
> -
C L
O
U
E x e r c ic e 1.3 Toute orb ite e st co n n exe
Soit S un système dynamique x = /(x), avec / localement lipschitzienne sur H,
domaine de R'^. Montrer que toute orbite est connexe.
E x e r c ic e 1.4 Un sy stè m e u n id im en sio n n el a-t-il d es o rb ite s p ério d iq u es ?
O n ra p p e lle qu e les d eu x seu les v a rié té s co n n ex es d e d im en sio n 1 so n t R e t le cerc le
(ou to re T ' ).
Soit S un système dynamique x = /(x ) sur il, variété de dimension 1. On suppose /
continue.
1. Pour il = R, montrer que S ne possède aucune solution périodique non triviale
(c’est-à-dire non constante).
2. Pour O = r ' , montrer que S peut posséder une solution périodique non triviale.
E x e r c ic e 1.2 D es p o rtra its de p h a se s
Tracer les portraits de phases des systèmes suivants, dont l’état est défini sur c
:
1. C ro is s a n c e d^une p o p u la tio n : en environnement infini, une population jc croît
selon i = Q'^oùa>0 (croissance malthusienne).
Si l’environnement est fini (aire, ressources, ...), la population jc ne peut pas
dépasser une certaine valeur. Moyennant un choix convenable des unités, elle
satisfait l’équation logistique proposée par l’économiste François Verhulst :
i: = x ( l — x), avec Cl =]0, 1[. On tracera le portrait de phases de l’équation
logistique sans la résoudre analytiquement, avec il = R (noter que seul O = R+
a une interprétation démographique).
2. U n s y s tè m e u n id im e n s io n n e l :
x = x { x - 1) (x - 2) (x - 3) (jf - 4) avec O = R.
3. D e u x s y s tè m e s b id im e n s io n n e ls [avec z = | ^|] :
.yi
(a) Z = I
j Z, avec O = R^
(b) Z = IQ
O = R^
4. U n s y s tè m e 2 -D :
l ) . ( p < . - p > )
(représentation dans R^, en coordonnées polaires).
T J
O
c
rj
û
« J D
O
rsl
ai
> -
C L
O
U
E x e r c ic e 1.3 Toute orb ite e st co n n exe
Soit S un système dynamique x = /(x), avec / localement lipschitzienne sur H,
domaine de R'^. Montrer que toute orbite est connexe.
E x e r c ic e 1.4 Un sy stè m e u n id im en sio n n el a-t-il d es o rb ite s p ério d iq u es ?
O n ra p p e lle qu e les d eu x seu les v a rié té s co n n ex es d e d im en sio n 1 so n t R e t le cerc le
(ou to re T ' ).
Soit S un système dynamique x = /(x ) sur il, variété de dimension 1. On suppose /
continue.
1. Pour il = R, montrer que S ne possède aucune solution périodique non triviale
(c’est-à-dire non constante).
2. Pour O = r ' , montrer que S peut posséder une solution périodique non triviale.