Chapitre 1 3
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U
û
kD 1 -H
O
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C L
O
U
2. L’ensemble triadique K de Cantor et Qo sont deux sous-ensembles du même
ensemble [0, 1 ].
- K est de dimension fractale In 2/ln 3 ; il est infini non-dénombrable ;
- Qo est de dimension fractale 1 ; il est infini dénombrable.
L’ensemble Qo a le plus faible cardinal mais la plus grande dimension fractale.
Ceci montre qu’il n’y a. aucun lien direct entre cardinal et dimension fractale. Il
n’y a même pas de croissance au sens large de la dimension fractale en fonction
du cardinal.
Problème 13.1 Dimensions de trois fractales classiques
Q
©
1. Triangle de Sierpinski : si on divise le triangle circonscrit à T (de côté posé
égal à 1) en triangles équilatéraux égaux de côté 1/m, le recouvrement de T
exige N{m) d’entre eux.
- pour m = 2 = 2 ', on a N{m) = 3 = 3^
- pour m = 4 = 2^, on a N(m) = 9 = 3^
plus généralement :
- pour m = 2^',
on a N{m) = Ÿ
\nN{m) k\w 3
ln3
--------- = --------= ----- =, ceci pour tout k.
Inm
k\w 2
In 2
Donc, la dimension fractale de T est Ô{T) - In 3/ln 2 1,585.
2. Tapis de Sierpinski : si on divise le carré circonscrit à U (de côté posé égal à
1) en carrés égaux de côté 1/m, le recouvrement de U exige N{m) d’entre eux.
- pour m = 3 = 3^ on a N{m) =8=8*
- pour m = 9 = 3^, on a N{m) = 64 = 8^
plus généralement :
- pour m = Ÿ ,
on a N{m) = 8^'
In A^(m) /: In 8
3 In 2
- ------ = ——- = — - =, ceci pour tout k.
Inm
/cm3
m3
Donc, la dimension fractale de U est Ô{T) = 3 In 2/ In 3 ^ 1,893.
3. Flocon de von Koch : si on divise l’un des triangles équilatéraux circonscrits à
F (de côté posé égal à 1) en triangles équilatéraux de côté 1/m, le recouvrement
de F exige N{m) d’entre eux. La valeur 1/2 du côté du triangle équilatéral initial
explique le facteur 2 dans les valeurs de m choisies.
- pour m = 2 = 2.3^, on a N(m) = 3 = 3.4®
- pour m = 6 - 2 .3 \ on a N{m) = \2 = 3.4^
- pour m = 18 = 2.3^, on a N(m) = 4S = 3.4^
plus généralement :
- pour m = 2.3^,
on a N(m) = 3.4^
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