Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
C h a p i t r e 1 3
Exercice 13.1 Un atlas du cercle
a) Chacun des i//, homéomorphe à un intervalle ouvert réel, peut être appelé intervalle
ouvert de
(dénomination qu’on utilisera aussi dans le corrigé de l’exercice 13.2).
Par construction, l’atlas recouvre
: on a U \\J U 2 — T^b) Désignons un élément .v de 7^ par son représentant réel de [0, 1 [.
Soit (p\{x e i/i) = X G R, et ip2{x g U2) = x g R si x g]0, ^[, sinon (p2{x) = x-\ g R ;
(f\ et (/?2 sont des homéomorphismes : pour illustrer la continuité de ip2 en 0, on pourra
vérifier par exemple que pour e > 0 arbitrairement faible, (f2 (s) et (p2 (\ - s) diffèrent
de 2s.
U\ C\Ü2 'à deux composantes connexes : ] 0, ^ [, et ] 1 [. Pour tout x appartenant
à la première, (pi(x) = (f2(x), donc ((fi o (p~^) et ((p2 °
sont l’identité de ] 0, ^ [.
Pour tout X appartenant à la seconde, {(f\ o (p~^) et ((^2 ^
sont des translations.
Dans tous les cas, (pi o
est de classe
Par conséquent,
est une variété différentielle de dimension 1 et de classe
T3 o c D
û
T — H
o
rsJ
O
SI
01
>.
C L
o
U
Exercice 13.2 Un atlas du tore
L’approche est de même nature que pour l’exercice 13.1.
a) f/i et U2 sont chacun le produit d’un intervalle ouvert de
(comme défini en
début de corrigé de l’exercice 13.1) et d’un cercle, donc chacun homéomorphe à une
couronne plane ouverte, qui est un ouvert de R^. Tout élément de
appartient à U\
on U 2 , par définition même de ces ensembles. Donc, U \\J U 2 '= •
b) t/| Pi ^2 a deux composantes connexes : =10, j [x7^ et 1 1 [x
Chacune
des deux est homéomorphe à une couronne ouverte du plan, qui peut être le plan
privé du point (0, 0). Il existe une infinité de couples d’applications de Ui dans R^
(/ G {1; 2}) telles que f\ o
et /2 o f~^ soient de classe
Une piste naturelle : pour chaque composante connexe, qui est topologiquement le
produit d'un intervalle par un cercle, utiliser Vintervalle pour paramétrer le module
dans R^, et le cercle pour paramétrer Vargument.
Par conséquent,
est une variété différentielle de dimension 2 et de classe C°°.
I3 H 7 8 B E 1 H H Dimension fractale du segment rationnel
1. Comme Qo est infini dénombrable, sa mesure de Lebesgue est nulle :
m(Qo) = 0
Comme Qo est partout dense dans le segment réel [0, 1 ], sa dimension fractale
est celle de [0, 1 ], c’est-à-dire 1 : ^(Qo) = 1
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C h a p i t r e 1 3
Exercice 13.1 Un atlas du cercle
a) Chacun des i//, homéomorphe à un intervalle ouvert réel, peut être appelé intervalle
ouvert de
(dénomination qu’on utilisera aussi dans le corrigé de l’exercice 13.2).
Par construction, l’atlas recouvre
: on a U \\J U 2 — T^b) Désignons un élément .v de 7^ par son représentant réel de [0, 1 [.
Soit (p\{x e i/i) = X G R, et ip2{x g U2) = x g R si x g]0, ^[, sinon (p2{x) = x-\ g R ;
(f\ et (/?2 sont des homéomorphismes : pour illustrer la continuité de ip2 en 0, on pourra
vérifier par exemple que pour e > 0 arbitrairement faible, (f2 (s) et (p2 (\ - s) diffèrent
de 2s.
U\ C\Ü2 'à deux composantes connexes : ] 0, ^ [, et ] 1 [. Pour tout x appartenant
à la première, (pi(x) = (f2(x), donc ((fi o (p~^) et ((p2 °
sont l’identité de ] 0, ^ [.
Pour tout X appartenant à la seconde, {(f\ o (p~^) et ((^2 ^
sont des translations.
Dans tous les cas, (pi o
est de classe
Par conséquent,
est une variété différentielle de dimension 1 et de classe
T3 o c D
û
T — H
o
rsJ
O
SI
01
>.
C L
o
U
Exercice 13.2 Un atlas du tore
L’approche est de même nature que pour l’exercice 13.1.
a) f/i et U2 sont chacun le produit d’un intervalle ouvert de
(comme défini en
début de corrigé de l’exercice 13.1) et d’un cercle, donc chacun homéomorphe à une
couronne plane ouverte, qui est un ouvert de R^. Tout élément de
appartient à U\
on U 2 , par définition même de ces ensembles. Donc, U \\J U 2 '= •
b) t/| Pi ^2 a deux composantes connexes : =10, j [x7^ et 1 1 [x
Chacune
des deux est homéomorphe à une couronne ouverte du plan, qui peut être le plan
privé du point (0, 0). Il existe une infinité de couples d’applications de Ui dans R^
(/ G {1; 2}) telles que f\ o
et /2 o f~^ soient de classe
Une piste naturelle : pour chaque composante connexe, qui est topologiquement le
produit d'un intervalle par un cercle, utiliser Vintervalle pour paramétrer le module
dans R^, et le cercle pour paramétrer Vargument.
Par conséquent,
est une variété différentielle de dimension 2 et de classe C°°.
I3 H 7 8 B E 1 H H Dimension fractale du segment rationnel
1. Comme Qo est infini dénombrable, sa mesure de Lebesgue est nulle :
m(Qo) = 0
Comme Qo est partout dense dans le segment réel [0, 1 ], sa dimension fractale
est celle de [0, 1 ], c’est-à-dire 1 : ^(Qo) = 1
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