Chapitre 12
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y )
ai
>C L
O
U
û
@
2. pour X e Q r, ( / o i//){x) = /[sin^(;r|)] = sin^(;rjc) d’après la question 1.
pour X G [0, 1/2] c Q.Tj
O
= ^(2x) = sin^(;r;r)
pour X G [1/2, 1] c
(i// O t){x) = ip{2 - 2x) = sin^(7r - 7Tx) = sin^(;7rx)
En résumé : sur Qj = /, on a / o ^
o r. On a une égalité analogue avec
et (où k G N), donc avec les flots. Comme ip est un homéomorphisme entre I
et lui-même, nous avons montré que :
S u r /, les systèm es T et L so n t co n ju g u és p a r ip .
3. Soit 0, « 1^22^3 • • • l’écriture binaire d’un réel a de /, et ^ > 0 quelconque. Il
existe G N tel que 2“^ < s, ce qui assure |a - 0, « 1^2 • • • ûtytl < ^- Comme toute
suite de k nombres égaux à 0 ou 1 est présente dans l’écriture binaire de m, il
existe J tel que m = 0, m\m2 - • ‘m ja \a 2 ‘ " mi mi+{ • • •, où / = J + k +
Alors, l’écriture binaire de 2^ m est 2^ m = m\ni2 - - mj, a\a2 - -
mi mi+\ • • •,
dont la partie fractionnaire vaut 0, a\a2 " • akm jm/+i • • •. Les écritures de a et
de 2^ m ayant leurs k premiers éléments après la virgules égaux, les parties fractionnaires de ces deux nombres diffèrent de moins de
donc de moins de s.
Nous venons de montrer que V en sem ble des parties fra ctio n n a ires des
nom bres 2" m est den se su r I lorsque n décrit M.
r\
4. Soit a = sin (m;r), où m est le nombre de Champernowne (question précédente).
f \ a ) = f \ s m (mn)) - sin [2'^m;r]. Il résulte de la question 3 que l’ensemble des parties fractionnaires des nombres 2'^ mn est lui-même dense sur
I lorsque n décrit N. Il en est de même des nombres sin [2^^ m;r] car la fonction
O
^ G R 1 -^ s m ^ est continue. Par conséquent, l’ensemble des f^\a) est dense
dans I lorsque n décrit N.
Exprimé autrement : Forbite de a (pour le système L) est den se dans /.
Le raisonnement tenu pour a est également valable pour tout point f^{a) de son
orbite. Et comme l’orbite de a est dense dans /, on peut énoncer :
V e n s e m b le des p oin ts d ont Forbite est d en se dans I est lui-m êm e den se
dans /.
5. xo est périodique si et seulement si il existe un entier n e W tel que x^ =
/ ”(•^0) = -^o* Oh -^0 = sin^ 0 (avec 0 G [0, ;Tr/2]) et x„ = sin^(2'^ 0). D’où
sin^ 6 = sin^(2'^ 6), qui équivaut à 2" ^ = ±6 + kn.
k TT
On a donc 6 = ------- , avec k G Z. Limiter k k { 0 , 1, • • • , 2"-' - 11 suffit à cou2'" + 1
vrir toutes les valeurs de sin^ 0, donc de x. L’ensemble des valeurs de 0 obtenues
lorsque n décrit N* est dense dans [0, ;r/2]. Comme l’application i? i-> x = sin^ 6
est continue, l’ensemble des x„ périodiques (avec 2'^"^ valeurs possibles de x^
à n donné) lorsque n décrit N* est dense dans /. On retiendra que :
V e n s e m b le des p oin ts p ériod iqu es est d en se dans / .
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2. pour X e Q r, ( / o i//){x) = /[sin^(;r|)] = sin^(;rjc) d’après la question 1.
pour X G [0, 1/2] c Q.Tj
O
= ^(2x) = sin^(;r;r)
pour X G [1/2, 1] c
(i// O t){x) = ip{2 - 2x) = sin^(7r - 7Tx) = sin^(;7rx)
En résumé : sur Qj = /, on a / o ^
o r. On a une égalité analogue avec
et (où k G N), donc avec les flots. Comme ip est un homéomorphisme entre I
et lui-même, nous avons montré que :
S u r /, les systèm es T et L so n t co n ju g u és p a r ip .
3. Soit 0, « 1^22^3 • • • l’écriture binaire d’un réel a de /, et ^ > 0 quelconque. Il
existe G N tel que 2“^ < s, ce qui assure |a - 0, « 1^2 • • • ûtytl < ^- Comme toute
suite de k nombres égaux à 0 ou 1 est présente dans l’écriture binaire de m, il
existe J tel que m = 0, m\m2 - • ‘m ja \a 2 ‘ " mi mi+{ • • •, où / = J + k +
Alors, l’écriture binaire de 2^ m est 2^ m = m\ni2 - - mj, a\a2 - -
mi mi+\ • • •,
dont la partie fractionnaire vaut 0, a\a2 " • akm jm/+i • • •. Les écritures de a et
de 2^ m ayant leurs k premiers éléments après la virgules égaux, les parties fractionnaires de ces deux nombres diffèrent de moins de
donc de moins de s.
Nous venons de montrer que V en sem ble des parties fra ctio n n a ires des
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4. Soit a = sin (m;r), où m est le nombre de Champernowne (question précédente).
f \ a ) = f \ s m (mn)) - sin [2'^m;r]. Il résulte de la question 3 que l’ensemble des parties fractionnaires des nombres 2'^ mn est lui-même dense sur
I lorsque n décrit N. Il en est de même des nombres sin [2^^ m;r] car la fonction
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^ G R 1 -^ s m ^ est continue. Par conséquent, l’ensemble des f^\a) est dense
dans I lorsque n décrit N.
Exprimé autrement : Forbite de a (pour le système L) est den se dans /.
Le raisonnement tenu pour a est également valable pour tout point f^{a) de son
orbite. Et comme l’orbite de a est dense dans /, on peut énoncer :
V e n s e m b le des p oin ts d ont Forbite est d en se dans I est lui-m êm e den se
dans /.
5. xo est périodique si et seulement si il existe un entier n e W tel que x^ =
/ ”(•^0) = -^o* Oh -^0 = sin^ 0 (avec 0 G [0, ;Tr/2]) et x„ = sin^(2'^ 0). D’où
sin^ 6 = sin^(2'^ 6), qui équivaut à 2" ^ = ±6 + kn.
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On a donc 6 = ------- , avec k G Z. Limiter k k { 0 , 1, • • • , 2"-' - 11 suffit à cou2'" + 1
vrir toutes les valeurs de sin^ 0, donc de x. L’ensemble des valeurs de 0 obtenues
lorsque n décrit N* est dense dans [0, ;r/2]. Comme l’application i? i-> x = sin^ 6
est continue, l’ensemble des x„ périodiques (avec 2'^"^ valeurs possibles de x^
à n donné) lorsque n décrit N* est dense dans /. On retiendra que :
V e n s e m b le des p oin ts p ériod iqu es est d en se dans / .
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