Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
Exercice 11.3 Une fractale dans
La démonstration est de même nature que celle faite pour l’ensemble de Cantor en
annexe 6.
1. On identifie K comme intersection d’une suite décroissante de compacts Ki.
Donc, K est compact.
2. Si on prend m = 10^', on a avec les notations de l’annexe 6 : N{m) = 9^
d’où InTV/lnm = {k \n 9 )l{kln \0 \ d’où dim K = In9/lnl0 ^ 0,954.
C h a p i t r e 1 2
Exercice 12.1 Un équilibre attractif pour r = 3
•O O c
û
U D
O
( N
O
ai
Q .
O
U
1. On a
f(a + s) - a
s \ - - = -(l +3e).
On observe que l’image d’un point situé au voisinage droit (s > 0 ) de a saute
au voisinage gauche de a, et s*en éloigne (| - (1 + 3 é:)| > 1).
En revanche, l’image d’un point situé au voisinage gauche {s < 0) de a saute au
voisinage droit de a, Qis^en rapproche (| - (1 + 3 £:)| < 1).
Ne sachant pas à ce stade si l’un des deux phénomènes l’emportera sur l’autre,
on ne peut pas encore conclure sur le caractère de stabilité de a.
2. On a f (a + s) = f[ f( a + 6:)] = f \ ^ - ( \ + 3 s ) s ] , qui est un polynôme de degré 4
en £ : f^(a + s) = ^ + s - I8s^ - 27
D ’où
^ f"^(a -h s) - o = 1 — 18 — 27
Pour s appartenant à un voisinage de
0, cette expression est strictement inférieure à 1. Les diverses itérations de
se rapprochent donc de l’équilibre a = j de façon unilatérale. Ceci montre que
a = J est stable.
Ce phénomène, joint au fait que l’équilibre a est isolé, montre que a est attractif
(puits). Si a n’était pas un équilibre isolé pour /^ , on limiterait la conclusion à
sa stabilité simple.
Problème 12.1 La suite logistique pour r = 4
1. /(sin^ 0) = 4 sin^ 0(\ - sin^ 0) = 4 sin^ 0 cos^ 0 = sin^(20).
Donc, /^(sin^ 6) = /(/(sin ^ 6)) = f(sin^(26)) = sin^(4^).
'y
Plus généralement, par une récurrence évidente : V « € N, /'*(sin^6l) =
sin^(2"^)
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