Chapitre 11
L’hypothèse de départ étant donc à rejeter : Vorbite de z* coupe L un nombre fin i de
fois.
R e m a r q u e s
1. Le raisonnement est encore valide si la section transverse est définie dans un
sens plus général : on impose seulement que L et /(zo) ne soient pas colinéaires,
ce qui traduit le fait que la question est une question de géométrie affine et non
euclidienne.
2. La conclusion se généralise au cas où z e W -
■a O
c
D
Q
kD
O
rsl
(5)
‘s_
>.
C L
O
U
Exercice 11.2
________ Ensembles stables, ensembles-limites, attraction
Le schéma suivant donne les huit exemples cherchés ; sept sont de dimension 1, un
de dimension 2.
Le tableau s’interprète ainsi : la
colonne sert à définir A, les colonnes suivantes
décrivent ses qualités :
Colonne « stable » : une croix si A est stable. Colonne « limite » : une croix si A est
l’ensemble-limite d’un point. Colonne « attract. » : une croix si A attire un ensemble
de mesure positive.
Dans la définition de A, il est fait référence aux sytèmes suivants :
5 1 est le système d’équation d’évolution x = x(x - 1), avec x e R
5 2 est le système d’équation d’évolution x = 0, avec x E R
S 2 est le système plan (x E R^) dont les orbites sont les cercles de centre 0, décrits
dans le sens positif à la vitesse ||x||.||x - 1||. Le cercle unité F se décompose en deux
orbites ; r - {1 j et l’équilibre {1}.
S 4 est le système d’équation d’évolution x = x^, avec x E R
stable
limite
attract.
A = {0} pour Si
X
X
X
A = {0} pour $2
X
X
/A = R_ pour Si
X
X
A = r pour S3
X
A = {0} pour S4
X
X
/A = { 1 } pour Si
X
A = [-C», 2] pour Si
X
> A = [2, 3] pour Si
û
©
L’ensemble A = {0} pour S i possède les trois propriétés ; c’est par définition un
attracteur. Il est le seul dans ce cas parmi les huit exemples proposés.
263