Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
C h a p i t r e 1 0
T 3
O
c
ГЗ
Q
Ю
O
fN J
Exercice 10.1 Deux trajectoires sécantes
Soit le système xi^+\ = 0 .
Pour a- q = 0 et jio = 1, on a la même valeur de xi : ;ci = 0. Il n’y a donc pas unicité de la trajectoire pour laquelle
= 0. En d’autres termes, les trajectoires d’états
initiaux 0 et 1 sont sécantes aux temps k > \. De plus, le système est clairement
linéaire, ce qui fournit l’exemple demandé.
Exercice 10.2 Équilibres et 3-cycle
1. f{x) vaut fx{x) pour X < 3/4, et fjix) pour л: > 3/4. Un équilibre x satisfait
nécessairement :
• / 1W = d’où x - - \ , que l’on retient car -1 < 3/4
• ou f 2 {x) = X, d’où ji = 4/3, que l’on retient aussi car 4/3 > 3/4.
Donc, S O p o ssèd e d eu x équilibres, - 1 et 4j3,
2. Pour tout x E l , X < 3/4 d’où /(x ) = /i(x) = 2x + 1. Alors, /,(x) € [3/4, 13/8]
Comme /(x ) > 3/4, on a f { x ) = (/2 0 /, )(x) = -4 x + 2, d’où / ( x ) € [3/4, 5/2]
Comme f { x ) > 3/4, on a f { x ) = (/2 о /2 о /|)(х ) = -2 (-4 x + 2) + 4 = -8 x
On a donc bien jc G I
f ^ ( x ) = - 8 x .
3. 0 e / ^ /^(0) = - 8 X 0 = 0, ce qui montre que 0 est un équilibre de I .
0 est donc aussi l’un des éléments d’un 3-cycle de S oCe dernier s’obtient par /(0 ) = /,(0 ) = 1 et ( / о /)(0) = /(1 ) = / 2( 1 ) = 2.
On vérifie que /(2 ) = / 2(2) = 0
Donc, (0, 1, 2) est un 3-cycle de S/>.
4. Pour X G /, /^(x) = -8x, d’où (/^)'(0) = -8 .
Ce nombre étant de module supérieur à 1, Ze cycle (0, 1, 2) est instable et
répulsif.
C h a p i t r e 11
ai
‘1 ^
> -
C L
O
U
Exercice 11.1 Rencontre orbite - section transverse
Si 1 orbite coupe L une infinité de fois entre t\ et i2 , l’ensemble T des temps correspondants admet un point d’accumulation f , limite d’une suite r,- (/ G N*) d’éléments
de T distincts de f .
Par continuité, z(C) e L. Alors,
= lim
^ ; cette limite ne peut être
k^oo tk - t*
^
qu’un vecteur vertical ou nul, ce qu’interdit le statut de section transverse de L.
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Exercice 10.1 Deux trajectoires sécantes
Soit le système xi^+\ = 0 .
Pour a- q = 0 et jio = 1, on a la même valeur de xi : ;ci = 0. Il n’y a donc pas unicité de la trajectoire pour laquelle
= 0. En d’autres termes, les trajectoires d’états
initiaux 0 et 1 sont sécantes aux temps k > \. De plus, le système est clairement
linéaire, ce qui fournit l’exemple demandé.
Exercice 10.2 Équilibres et 3-cycle
1. f{x) vaut fx{x) pour X < 3/4, et fjix) pour л: > 3/4. Un équilibre x satisfait
nécessairement :
• / 1W = d’où x - - \ , que l’on retient car -1 < 3/4
• ou f 2 {x) = X, d’où ji = 4/3, que l’on retient aussi car 4/3 > 3/4.
Donc, S O p o ssèd e d eu x équilibres, - 1 et 4j3,
2. Pour tout x E l , X < 3/4 d’où /(x ) = /i(x) = 2x + 1. Alors, /,(x) € [3/4, 13/8]
Comme /(x ) > 3/4, on a f { x ) = (/2 0 /, )(x) = -4 x + 2, d’où / ( x ) € [3/4, 5/2]
Comme f { x ) > 3/4, on a f { x ) = (/2 о /2 о /|)(х ) = -2 (-4 x + 2) + 4 = -8 x
On a donc bien jc G I
f ^ ( x ) = - 8 x .
3. 0 e / ^ /^(0) = - 8 X 0 = 0, ce qui montre que 0 est un équilibre de I .
0 est donc aussi l’un des éléments d’un 3-cycle de S oCe dernier s’obtient par /(0 ) = /,(0 ) = 1 et ( / о /)(0) = /(1 ) = / 2( 1 ) = 2.
On vérifie que /(2 ) = / 2(2) = 0
Donc, (0, 1, 2) est un 3-cycle de S/>.
4. Pour X G /, /^(x) = -8x, d’où (/^)'(0) = -8 .
Ce nombre étant de module supérieur à 1, Ze cycle (0, 1, 2) est instable et
répulsif.
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Exercice 11.1 Rencontre orbite - section transverse
Si 1 orbite coupe L une infinité de fois entre t\ et i2 , l’ensemble T des temps correspondants admet un point d’accumulation f , limite d’une suite r,- (/ G N*) d’éléments
de T distincts de f .
Par continuité, z(C) e L. Alors,
= lim
^ ; cette limite ne peut être
k^oo tk - t*
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qu’un vecteur vertical ou nul, ce qu’interdit le statut de section transverse de L.
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