Chapitre 9
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y )
X I
O J
>Q.
O
U
Q
©
/i < 0, instable si jj > 0.
Si JJ = 0, le système devient z = -if
Xi
: les trajectoires sont des cercles
décrits uniformément dans le sens direct, ce qui atteste la stabilité simple
de l’équilibre. Résumons :
- pour yu < 0, l’équilibre zo est asym ptotiquem ent stable
- pour yu = 0, l’équilibre zo est stable (mais non asymptotiquement)
- pour yU > 0,1’ équilibre zo est instable
(b) Ce qui précède montre qu’il y a changement de nature de l’équilibre pour
¡1 = 0.
Le système présente donc une bifurcation p o u r yu = 0.
5.
#y = 0
p = -1
P = 1
Figure 14.11
6. f{z) =
Xi
+
'X] (1-r")
composante
composante
langenlielle
radiale
Pour r < 1 : composante radiale > 0 : évolution centrifuge de z
Pour r > 1 : composante radiale < 0 : évolution centripète de z
\ dr^ _ \ d(x^ + y^)
2
‘
"
"
■
dt
dt
= XX + yÿ
= x[-y + x(l - r^)]] + y[x + y ( \ - r^)]
= - x y + (x^ + y^)(l - r^) + y x = r^ (l - r^)
dR
9
soit — = 2R{\ - R), (avec R = r^), équation différentielle qui montre que R
dt
(donc r) tend vers 1 quand r ^ co (ce que confirme la résolution analytique,
non exigée, de l’équation différentielle). Le cercle unité attire le disque unité
pointé 0 < P < 1. Par conséquent :
Le cycle-limite est le cercle u n ité décrit un iform ém en t dans le sens direct.
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