Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
F ig u r e 1 4 .1 0
3. Le simple examen du portrait de phases montre qu’il y a une bifurcation de
type fo u r c h e pour // = 1.
4. F{x) = VF . f = 2x(px - sin x), équivalent à 2x^ Ou - 1) pour
\.
(a) pour P > 1, p x - sin X est du signe de x, donc F > 0 : F n^est p a s une
fonction de Liapounov ;
(b) pour P e [2/7t,
p x - sin X, est du signe de -x .
Donc F < 0 hors de X = 0 dans un voisinage de 0 ; F est une fo n c tio n
de L iapoun ov pour l’équilibre 0, ce qui entraîne la stabilité asym ptotique
de 0.
P r o b l è m e 9.1 U n s y s t è m e n o n - l i n è a i r e d e d i m e n s i o n 2
1. ^ ~ y
+ yuz(l -
est somme de 2 vecteurs orthogonaux de modules carrés respectifs
et p^-r^{\ - r^Ÿ. D’après le théorème de Pythagore : ||i;|p =
r^[l + p H l - r^Ÿ]
2. D’après l’expression précédente, z = 0
= 0 <=
Donc, Zi) = 0 est le s e u l équilibre.
^-y + p {x - x^ - xy^‘)\
z = 0
T3 O
3. f(z) = i l ] + F\
c D
\y
û
vD
r<9/i df\\
T — 1
O
rsJ
O
v / =
dx
dfi
du
dfi
•M
x:
\ dx
dy J
C T )
= ( i
Q. O
U
4. (a) V/(zo)
0 -r2) = X + p (y - x^y - If)
c’est-à-dire V f =
- 1 - 2 a /x^ ^
^ \ \ - 2 p x y
p{\ - x^ - 2y^).
F
. Les valeurs propres de V f sont obtenues par :
= (il - àY + \ = - lAfi + \ + = Q.
2 _
P - À
-1
1
p - À
Ce sont donc A = p± i. Elles sont toujours complexes conjuguées, de partie
réelle yu. Si l’équilibre est hyperbolique, sa nature est fournie directement
par le théorèm e de H artm an-G robm an : zo est asymptotiquement stable si
260