Chapitre 9
2. La question 1 renseigne sur la nature des équilibres et permet de tracer le diagramme de bifurcation suivant :
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y )
X I
O J
>Q.
O
U
Q
©
Figure 14.9
Commentaires
- Pour H < 0, r équilibre 0 est instable, les équilibres ±fj. asymptotiquement
stables.
- Pour = 0, le système se réduit à i = 0 : tout réel est un équilibre stable.
- Pour ¡À > 0, r équilibre 0 est asymptotiquement stable, les équilibres ±/i
instables.
Par conséquent, il y a bifurcation pour yu = 0.
V
A la traversée de la bifurcation, il y a changement de nature de chacun des trois
équilibres : on passe de [ASt ST, INST, ASt ST] (pour ^ < 0) à [INST, ASt ST,
INST] (pour yu > 0). A la valeur précise de bifurcation (/i = 0), il y a immobilité
(donc équilibre simplement stable) de tous les états.
Cette bifurcation n’est d’aucun des trois types élémentaires de bifurcations de
systèmes de dimension 1.
Exercice 9.2 Bifurcation d’un système non-linéaire de dimension 1
R e m a r q u e p r é l i m i n a i r e
Comme x
i est impaire, le champ des trajectoires est lui-même impair (si x{t) est
une trajectoire, x(t) = -x (-t) est aussi une trajectoire) et 0 est toujours un équilibre.
1. Les équilibres sont fournis par i = 0, soit sin x = px. Compte tenu de la forme
de la fonction sinus, cette équation :
- a la solution unique j: = 0 pour p > l ;
- a trois solutions du type -a(p), 0 et a(p) > 0 pour p € [2/7t, 1[
2. Le portrait de phases est le suivant (la courbe de bifurcation a une tangente
horizontale pour jc = 0) ; les équilibres - a et a sont instables, 0 est asymptotiqu em en t stable.
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