Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
T3 O c D
Q
T—H
O
rsj
0)
>Q .
O
U
(r) =
(
^ \
X Q + bb
yi) + - b j
q b
XQ + q
M + P>
. Comme p et q sont entiers, ce point représente le point zo =
sur le tore. Donc, z{t) = z(0), ce qui montre que la
\yol
trajectoire est périodique. On a bien un cycle, qui est une hélice sur le tore T.
En fait, X effectue q « tours » alors que y en effectue p.
4. b
t
Soit (xi, y\) e
un représentant d’un point quelconque de
T. Appelons Orbo l’orbite du point zo = (0, 0). Au temps r = y\jc, on a
y{t) = CT - y On retrouve la même « ordonnée » à l’instant r + 1/c.
b
Mais alors, v a augmenté de a = - , qui est irrationnel. Aux instants r + mjc
c
(où m e Z), y prend la même valeur y\ (modulo 1), et jc prend l’ensemble des
valeurs b r ^ m a. C’est le translaté par Z?r de l’ensemble des m a, dont on sait
par l’exercice 8.2 qu’il est dense sur le cercle . L’ensemble des jr est donc luimême dense sur 7"'. Ceci signifie que pour tout voisinage V de (a'i , y\) sur T, il
existe m tel que z(r -i- m/c) G V. Donc, OrbQ est dense sur T. L’orbite d’un point
(-^Oj yo) quelconque de T est homologue de Orbo dans la translation (le lecteur
s’assurera aisément que cette notion a un sens sur T) de valeur (aq, yo), et est
elle aussi dense sur T quel que soit zoPar conséquent : pour tout zo, Orb{zo) ^st dense sur T.
On remarquera que, munie de la topologie induite par celle de T, Vorbite de
zo n 'est pas une variété topologique. Ceci explique les réserves exprimées au
§ 2.3.2 quant au fait qu’une orbite soit une variété.
Toutefois, on peut munir Orb(zo) d ’une topologie différente : celle engendrée
par les fragments d ’orbite {z(0 ; t C\a, b[]. Avec cette topologie, Orb{zo) est
une variété différentielle de dimension 1 homéomorphe à R.
C h a p i t r e 9
Exercice 9.1 Bifurcation d’un système polynomial de dimension 1
1. Si yu 7^ : 0, le système possède 3 équilibres : -p , 0 et yu.
Si yu = 0, tout point est un équilibre. Le système linéarisé autour d’un équilibre
i3 est À = Vfaix). Comme V/^(a) = i3pa^ - p^) a, on a les trois linéarisés ;
À = V f-fj.x= 2p^ X
X
=
V f o
. x = - p ^ X
X
=
V ffj .X =
2 p ^ X
258
T3 O c D
Q
T—H
O
rsj
0)
>Q .
O
U
(r) =
(
^ \
X Q + bb
yi) + - b j
q b
XQ + q
M + P>
. Comme p et q sont entiers, ce point représente le point zo =
sur le tore. Donc, z{t) = z(0), ce qui montre que la
\yol
trajectoire est périodique. On a bien un cycle, qui est une hélice sur le tore T.
En fait, X effectue q « tours » alors que y en effectue p.
4. b
t
Soit (xi, y\) e
un représentant d’un point quelconque de
T. Appelons Orbo l’orbite du point zo = (0, 0). Au temps r = y\jc, on a
y{t) = CT - y On retrouve la même « ordonnée » à l’instant r + 1/c.
b
Mais alors, v a augmenté de a = - , qui est irrationnel. Aux instants r + mjc
c
(où m e Z), y prend la même valeur y\ (modulo 1), et jc prend l’ensemble des
valeurs b r ^ m a. C’est le translaté par Z?r de l’ensemble des m a, dont on sait
par l’exercice 8.2 qu’il est dense sur le cercle . L’ensemble des jr est donc luimême dense sur 7"'. Ceci signifie que pour tout voisinage V de (a'i , y\) sur T, il
existe m tel que z(r -i- m/c) G V. Donc, OrbQ est dense sur T. L’orbite d’un point
(-^Oj yo) quelconque de T est homologue de Orbo dans la translation (le lecteur
s’assurera aisément que cette notion a un sens sur T) de valeur (aq, yo), et est
elle aussi dense sur T quel que soit zoPar conséquent : pour tout zo, Orb{zo) ^st dense sur T.
On remarquera que, munie de la topologie induite par celle de T, Vorbite de
zo n 'est pas une variété topologique. Ceci explique les réserves exprimées au
§ 2.3.2 quant au fait qu’une orbite soit une variété.
Toutefois, on peut munir Orb(zo) d ’une topologie différente : celle engendrée
par les fragments d ’orbite {z(0 ; t C\a, b[]. Avec cette topologie, Orb{zo) est
une variété différentielle de dimension 1 homéomorphe à R.
C h a p i t r e 9
Exercice 9.1 Bifurcation d’un système polynomial de dimension 1
1. Si yu 7^ : 0, le système possède 3 équilibres : -p , 0 et yu.
Si yu = 0, tout point est un équilibre. Le système linéarisé autour d’un équilibre
i3 est À = Vfaix). Comme V/^(a) = i3pa^ - p^) a, on a les trois linéarisés ;
À = V f-fj.x= 2p^ X
X
=
V f o
. x = - p ^ X
X
=
V ffj .X =
2 p ^ X
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