Chapitre 8
6^ et 1 - ^ appartiennent à ]0, 1 [ et sont de somme 1 ; par conséquent, l’un des
deux appartient à ]0, 5].
Il en résulte que Min[i/(Aof, Z), d({A + l)of), Z] < -
En d’autres termes : tout irrationnel a un multiple entier au moins deux fois plus
proche que lui de Z.
2. D’après la
question, il existe un multiple entier a\ de a deux fois plus proche
de Z que ne l’est a. Mais a\ étant lui-même irrationnel, il existe a 2 , multiple
entier de a\ (donc de a) au moins deux fois plus proche de Z que ne l’est a i.
On définit ainsi la suite (aAO/teM* telle que pour tout k e W , d(ak, Z) < —.
Comme tous les a^ sont des multiples entiers de a, on a établi le résultat :
a G R -
d ( a Z \ Z) = 0
Dans cette implication, a Z* représente [a m \ m e Z*} et d est la distance entre
deux ensembles (voir « espaces métriques » en annexe 2).
Notons que réciproquement, si a est rationnel, a = pjq avec p e Z* et q e Z \
premiers entre eux. On a alors d{aZ*, Z) - 1/^ 0.
Il découle aussi du résultat établi que si a est un irrationnel du cercle des réels
modulo 1 (ou tore T^), Vensemble des multiples entiers de a est dense dans T \
Problème 8.1 Flot hélicoïdal sur le tore
■ a
O
c
3
Q
1—1
O
( N
ai
‘1 ^
>C L
O
U
H
Q
©
1.
2.
b = c = 0 L’analyse est triviale : tout p o in t est un équilibre.
/? = 0, c 0 Dans ce cas, le déplacement plan est vertical à vitesse constante.
Sur le tore T, l’orbite est le produit cartésien d’un tore
à une dimension,
c’est-à-dire un cercle, par un point : la trajectoire est un cercle décrit à vitesse
constante (traduction de l’égalité ÿ = c).
b tO , c = 0 Ce cas se traite de façon analogue.
On obtient ici aussi un cercle décrit à vitesse constante.
Si on identifie T à un tore euclidien classiquement considéré comme plongé
dans
euclidien, les cercles b = 0 et c = D forment deux familles distinctes,
orthogonales.
3.
, ^ c
(x\
b
h itO , - € Q’
b
O nat = y = c = P -b
y
q )
, avec (p, q) e Z*^, la fraction pjq
étant irréductible. Alors, à l’instant r = - , on a, si l’état initial est
b
UjOj
2 5 7
6^ et 1 - ^ appartiennent à ]0, 1 [ et sont de somme 1 ; par conséquent, l’un des
deux appartient à ]0, 5].
Il en résulte que Min[i/(Aof, Z), d({A + l)of), Z] < -
En d’autres termes : tout irrationnel a un multiple entier au moins deux fois plus
proche que lui de Z.
2. D’après la
question, il existe un multiple entier a\ de a deux fois plus proche
de Z que ne l’est a. Mais a\ étant lui-même irrationnel, il existe a 2 , multiple
entier de a\ (donc de a) au moins deux fois plus proche de Z que ne l’est a i.
On définit ainsi la suite (aAO/teM* telle que pour tout k e W , d(ak, Z) < —.
Comme tous les a^ sont des multiples entiers de a, on a établi le résultat :
a G R -
d ( a Z \ Z) = 0
Dans cette implication, a Z* représente [a m \ m e Z*} et d est la distance entre
deux ensembles (voir « espaces métriques » en annexe 2).
Notons que réciproquement, si a est rationnel, a = pjq avec p e Z* et q e Z \
premiers entre eux. On a alors d{aZ*, Z) - 1/^ 0.
Il découle aussi du résultat établi que si a est un irrationnel du cercle des réels
modulo 1 (ou tore T^), Vensemble des multiples entiers de a est dense dans T \
Problème 8.1 Flot hélicoïdal sur le tore
■ a
O
c
3
Q
1—1
O
( N
ai
‘1 ^
>C L
O
U
H
Q
©
1.
2.
b = c = 0 L’analyse est triviale : tout p o in t est un équilibre.
/? = 0, c 0 Dans ce cas, le déplacement plan est vertical à vitesse constante.
Sur le tore T, l’orbite est le produit cartésien d’un tore
à une dimension,
c’est-à-dire un cercle, par un point : la trajectoire est un cercle décrit à vitesse
constante (traduction de l’égalité ÿ = c).
b tO , c = 0 Ce cas se traite de façon analogue.
On obtient ici aussi un cercle décrit à vitesse constante.
Si on identifie T à un tore euclidien classiquement considéré comme plongé
dans
euclidien, les cercles b = 0 et c = D forment deux familles distinctes,
orthogonales.
3.
, ^ c
(x\
b
h itO , - € Q’
b
O nat = y = c = P -b
y
q )
, avec (p, q) e Z*^, la fraction pjq
étant irréductible. Alors, à l’instant r = - , on a, si l’état initial est
b
UjOj
2 5 7