Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
C h a p i t r e 8
Exercice 8.1 Naissance explosive, mort implosive
T3 O
c
D
Q
U D
O
(N
X I
CTI
>•
Q .
O
( J
1. n est le produit cartésien du cercle (ou tore T^), ensemble d’appartenance de la
n
TT
longitude, et de l’intervalle ~ 2 ' ' ^ 2
homéomorphe à R), ensemble
d’appartenance de la latitude. C’est donc un cylindre, muni de la topologie produit des topologies de 7 ' et de R.
2. (p, inverse d’un nombre non-nul, ne s’annule lui-même jamais. Il en est de même
du vecteur t Par conséquent, l’ensemble 8 des équilibres est V en sem ble vide.
3. Comme A = 0, on a Orb{zo) c {do! x
, méridien ouvert (c’est-à-dire
TT
TT
~ 2 ’ "^2^’
privé des pôles) de longitude do- Comme en tout point de ce méridien ouvert
\z\ est bien défini et non-nul, Orb(zo) ne peut pas en être une partie propre. Par
conséquent, Orb(zo) est le m éridien ouvert de longitude do.
4
4. Pour tout (^, on a >
Comme ip évolue sur un intervalle ouvert de longueur
TT^
r3
TT, cet intervalle est décrit en un temps inférieur à — ^
également réparti
4 / ;r" ^
4
sur les deux hémisphères. Il y a donc :
TT^
- naissance à un instant négatif > -----: la vitesse \z\ = \C p\ tend vers +00
8
lorsque t ^
. Alors, zo tend vers le pôle sud, qui appartient à l’adhérence
id de Q : il y a n aissan ce explosive au pôle sud.
TT^
- mort à un instant positif h- < V • > ¿1 = \(p\ tend vers -1-00 lorsque t — > tr.
8
_
^
Alors, Zo tend vers le pôle nord, qui appartient à l’adhérence Q de £d : il y a
m ort im plosive au pôle nord.
Exercice 8.2 Pour a i Q, la distance de al,* à S est nulle
1. Remarquons d’abord que ô g ] 0 ,
; donc, A est un entier au moins égal à 2, et
on 2i - = A + 0, avec 0 e ] 0 , 1 [
ô
Aa = A (m + ô) = Am + \ -ôO.
eZ
(A + l)» = (A -f- l)(m -I- (5) = (A -H \)m 4- 1 -l-J(l - 0)
e Z
Donc, ¿/(Aa, Z) = Ô0{< 1/2) et d({A 4- l)a, Z) = ô(\ - 0) (< 1/2)
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Exercice 8.1 Naissance explosive, mort implosive
T3 O
c
D
Q
U D
O
(N
X I
CTI
>•
Q .
O
( J
1. n est le produit cartésien du cercle (ou tore T^), ensemble d’appartenance de la
n
TT
longitude, et de l’intervalle ~ 2 ' ' ^ 2
homéomorphe à R), ensemble
d’appartenance de la latitude. C’est donc un cylindre, muni de la topologie produit des topologies de 7 ' et de R.
2. (p, inverse d’un nombre non-nul, ne s’annule lui-même jamais. Il en est de même
du vecteur t Par conséquent, l’ensemble 8 des équilibres est V en sem ble vide.
3. Comme A = 0, on a Orb{zo) c {do! x
, méridien ouvert (c’est-à-dire
TT
TT
~ 2 ’ "^2^’
privé des pôles) de longitude do- Comme en tout point de ce méridien ouvert
\z\ est bien défini et non-nul, Orb(zo) ne peut pas en être une partie propre. Par
conséquent, Orb(zo) est le m éridien ouvert de longitude do.
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4. Pour tout (^, on a >
Comme ip évolue sur un intervalle ouvert de longueur
TT^
r3
TT, cet intervalle est décrit en un temps inférieur à — ^
également réparti
4 / ;r" ^
4
sur les deux hémisphères. Il y a donc :
TT^
- naissance à un instant négatif > -----: la vitesse \z\ = \C p\ tend vers +00
8
lorsque t ^
. Alors, zo tend vers le pôle sud, qui appartient à l’adhérence
id de Q : il y a n aissan ce explosive au pôle sud.
TT^
- mort à un instant positif h- < V • > ¿1 = \(p\ tend vers -1-00 lorsque t — > tr.
8
_
^
Alors, Zo tend vers le pôle nord, qui appartient à l’adhérence Q de £d : il y a
m ort im plosive au pôle nord.
Exercice 8.2 Pour a i Q, la distance de al,* à S est nulle
1. Remarquons d’abord que ô g ] 0 ,
; donc, A est un entier au moins égal à 2, et
on 2i - = A + 0, avec 0 e ] 0 , 1 [
ô
Aa = A (m + ô) = Am + \ -ôO.
eZ
(A + l)» = (A -f- l)(m -I- (5) = (A -H \)m 4- 1 -l-J(l - 0)
e Z
Donc, ¿/(Aa, Z) = Ô0{< 1/2) et d({A 4- l)a, Z) = ô(\ - 0) (< 1/2)
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