Chapitre 7
est asymptote à Taxe des ordonnées et à la droite y = y\
: ceci peut
se déduire soit de la question 3.a) soit du caractère explosif de la solution,
qui impose y(t = Ijxx) comme valeur limite de y.
Il en résulte que toute réu n ion d’une « orbite gauche » et de la demi-droite
R + X {0} est une variété de dimension 1 tangente en zo à l’axe des abscisses, lui-même parallèle au sous-espace central Ec de S i. C’est donc une
variété centrale. Il y a autant de telles variétés que d’orbites gauches, donc
une infinité.
C om plém en t (hors énoncé) : toutes les orbites du demi-plan Jc < 0 sont homologues
par affinité. L ’annulation de d^yjdx^ fournit l ’abscisse de leurs points d ’inflexion,
qui vaut -1/2. L ’orbite passant par (x\, y\) admet la droite y = y \
comme
asymptote.
De même, toutes les orbites du demi-plan .v > 0 sont homologues par affinité. Comme
dans le cas précédent, l ’orbite passant par (xi, y\) admet la droite y = yi
comme asymptote.
Exercice 7.6 Tangentes aux orbites d’une variété remarquable
■a
O
c
û
O r\i
(5)
a) Sur R, les orbites du système i = 0 sont des points. Aucune n’ayant donc de tangente en 0, la réunion des tangentes évoquée dans l’énoncé est vide. Cependant,
V,(0) = R.
X sont des spirales ou
1 -1
Autre exemple : les orbites du système plan x =
{0}.
Aucune n’ayant de tangente en 0, la réunion des tangentes est vide. Cependant,
V,(0) = K?.
b) Les orbites du système plan (Li, X2) =
—2x2), à chacune desquelles on
ajoute {0}, sont tangentes en {0} soit à (1, 0), soit à (0, 1). La réunion des deux
droites correspondantes est une partie propre de
= R^.
c) Pour le système x = - x où x e
P¿(0) = R”, et la réunion évoquée dans
l’énoncé est
lui-m êm e.
‘s_
>.
C L
O
U
û
©
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