Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
TD O
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X I
CTI
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Q .
O
( J
On constate qu'un état initial z\ sur la parabole y -
conduit à (f)(t, Z\) =
x\ e
Xxi e^Ÿf
ce qui confirme Vinvariance de cette parabole par le flot.
Variétés centrales
^2x
0\
. /0
0'
Problème 7.2
1. (a) On a V/(z) = 0
_ ° l d’où V/(zo) = Q _J
Le système linéarisé est donc 2 = (q
{Si). Il est non hyperbolique, d’indice (1, 1, 0). Le sous-espace stable Es est engendré par L j , le
sous-espace central Ec par
(b) L’ensemble des équilibres de
est l’axe des jc, soit R x {0}. Tous les équilibres, donc en particulier zo, sont sim plem ent stables.
Zq est en revanche le se u l équilibre de 5. Il est instable pour S car tout
voisinage de zo contient un point d’abscisse strictement positive, dont les
descendants verront leur abscisse tendre vers +oo quand t tend vers sa valeur maximale (voir question 2.b).
2. (a) Abscisse et ordonnée se calculent indépendamment l’une de l’autre :
_ 2 - -
-^1
X = X s’intégre en x(t) =
\ - tX \
ti ÿ = - y en y{t) = y \e \ d’où
/
X\
(p(t, z\) = \ - tx i
y\e~ ‘ }
(b) De l’expression analytique du flot, on déduit immédiatement celle de la
plage temporelle, conditionnée seulement par la valeur de X{ :
pour
< 0 J{x\ , i/i) =
pour ^ 1 = 0 7(^1, y\) =
pour X| > 0 J{x\ ^ y\) =
1
— , -foo
— C O .
X\
n aissan ce im plosive à l’instant — < 0
m ort explosive à l’instant — > 0
3. Pour cette question, on se reportera à la figure 7.11.
(a) Hors de l’axe des ordonnées, t = ----- - , d’où y = y\ e~^ =, soit
X\
X
y = (Ui
(b) Toute « orbite gauche », orbite correspondant h x\ < 0 , est tangente en zo
à l’axe des abscisses et asymptote à la droite y = y\
(naissance implosive à / = 1/JCi). Toute « orbite droite », orbite correspondant à jci > 0 ,
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