Chapitre 7
Problème 7.1 Variétés stable et instable
■ O
O c
13
Q
yS D
O
rsl
(y)
03
>•
Q .
O
U
1.
L
-°'
endomorphisme hyper(a) On a V/(z) =
bolique d’indice (1, 0, 1).
(b) zo est un point-selle (ou col) de S l, donc un équilibre instable. D’après le
théorème de Hartman-Grobman, il est de même nature instable pour S .
2. (a) Tout point de V\ a une abscisse nulle : il en est de même de tous ses ascendants et descendants car alors i = x = 0. Donc Vi est bien invariant par le
flot.
(b) Le bassin d’attraction de zo, noté Att(zo), inclut V\, et ne comprend aucun
autre point (tout point hors V\ voit ses descendants s’éloigner indéfiniment
de V\ par x = x). Donc, Att(zo) = V\. Mais comme zo est un équilibre
hyperbolique, Vv(^o) = Att(zo)- On a donc bien Vi = Fs(^o)(c) La variété stable ^^(zo) = V\ est constituée de 3 orbites : la demi-droite
(jc = 0 ; y > 0), la demi-droite (x = 0 ; y < 0) et l’équilibre zo\
/ 1 '
X \
3. (a) zi e Vi est de la forme Z\ = \ 2 • Alors, ¿1 =
xi
-Xj -t{lx\
. Ce
vecteur étant parallèle à la tangente à V2 en zi, V 2 est invariante p a r le flo t.
(b) Pour tout point zi de V2 , il résulte de la tendance exponentielle triviale
de l’abscisse vers 0 quand î
-00 que lim
z\)
= Zq. Donc,
t— >— oo
V2 c Repizo) (bassin de répulsion de zo)- On vérifie que Repizi)) ne contient
aucun point hors V2 , ce qui montre que cette parabole est la variété instable
de Zo : V2 = V«(zo).
(c) La variété instable V„(zo) =
est constituée de 3 orbites : la demiparabole (x > 0 ; ^ = x^), la demi-parabole (x < 0 ; ^ = x^) et l’équilibre zoC om plém en t (hors énoncé) :
• Un portrait de phases est esquissé en figure 7.10 {§ 7.3). On peut en affiner la
description en déterminant F isocline Ih, ensemble des points du plan où la tangente à Vorbite est horizontale : Ih est déterminé par (x ^ 0, ^ = 0), c ’est-à-dire
(x ^ 0, y = 3 x^). Donc ht est la parabole y = 3 x^ privée du point zo• (5)
résout analytiquement. Pour l ’état initial z\ :
a
@
xi e
x^e^' + (i/i -x ^ )e ~ '
253
Problème 7.1 Variétés stable et instable
■ O
O c
13
Q
yS D
O
rsl
(y)
03
>•
Q .
O
U
1.
L
-°'
endomorphisme hyper(a) On a V/(z) =
bolique d’indice (1, 0, 1).
(b) zo est un point-selle (ou col) de S l, donc un équilibre instable. D’après le
théorème de Hartman-Grobman, il est de même nature instable pour S .
2. (a) Tout point de V\ a une abscisse nulle : il en est de même de tous ses ascendants et descendants car alors i = x = 0. Donc Vi est bien invariant par le
flot.
(b) Le bassin d’attraction de zo, noté Att(zo), inclut V\, et ne comprend aucun
autre point (tout point hors V\ voit ses descendants s’éloigner indéfiniment
de V\ par x = x). Donc, Att(zo) = V\. Mais comme zo est un équilibre
hyperbolique, Vv(^o) = Att(zo)- On a donc bien Vi = Fs(^o)(c) La variété stable ^^(zo) = V\ est constituée de 3 orbites : la demi-droite
(jc = 0 ; y > 0), la demi-droite (x = 0 ; y < 0) et l’équilibre zo\
/ 1 '
X \
3. (a) zi e Vi est de la forme Z\ = \ 2 • Alors, ¿1 =
xi
-Xj -t{lx\
. Ce
vecteur étant parallèle à la tangente à V2 en zi, V 2 est invariante p a r le flo t.
(b) Pour tout point zi de V2 , il résulte de la tendance exponentielle triviale
de l’abscisse vers 0 quand î
-00 que lim
z\)
= Zq. Donc,
t— >— oo
V2 c Repizo) (bassin de répulsion de zo)- On vérifie que Repizi)) ne contient
aucun point hors V2 , ce qui montre que cette parabole est la variété instable
de Zo : V2 = V«(zo).
(c) La variété instable V„(zo) =
est constituée de 3 orbites : la demiparabole (x > 0 ; ^ = x^), la demi-parabole (x < 0 ; ^ = x^) et l’équilibre zoC om plém en t (hors énoncé) :
• Un portrait de phases est esquissé en figure 7.10 {§ 7.3). On peut en affiner la
description en déterminant F isocline Ih, ensemble des points du plan où la tangente à Vorbite est horizontale : Ih est déterminé par (x ^ 0, ^ = 0), c ’est-à-dire
(x ^ 0, y = 3 x^). Donc ht est la parabole y = 3 x^ privée du point zo• (5)
résout analytiquement. Pour l ’état initial z\ :
a
@
x^e^' + (i/i -x ^ )e ~ '
253