Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
Exercice 7.4 Composantes connexes d’un ensemble-limite
Hypothèse : ù){zç> ) admet une partition en deux fermés : ùj{zo) = A U B, dont A
composante connexe bornée.
A étant compact, A n B = Q ^ d{A, B) = J > 0. L’ensemble F = {z e H ; d{z, A ) =
d/3] est la frontière du voisinage V de /1 défini par V = {z G H ; d{z, /1) < d/3]. Fermé
et borné, F est compact. Or, la trajectoire (pit, zo) visite en des temps arbitrairement
grands les ouverts disjoints V et W , où W est la boule S ( b , d/3), avec b élément
quelconque de B. Elle visite donc la frontière F de V en des temps arbitrairement
grands.
Donc, V« G N*, 3tn > n tel que Zn = (pihx, zo) ^ F. Comme F est compact, on
peut extraire de la suite z,i une sous-suite qui converge vers un point z* de F : ce
point n’appartient ni à A ni à F car il est distant d’au moins d/3 de chacun de ces
deux ensembles. Or, il appartient à tu(zo)- Ceci est contradictoire avec le fait que
= Ayj b . Donc, b ne peut pas exister. Par conséquent, si A est borné, 6u(zo) = A.
En d’autres termes : si o>(zo) p o ssèd e p lu sieu rs com posantes connexes^ a u cu n e est
com pacte.
Si io(zo) possède une composante connexe unique, celle-ci peut être compacte ou
non.
Exercice 7.5 Un cas d’absence de cycles
•O O c
û
U D
O
(N
O
oi
' v_
>Q.
O
U
1. La matrice A est déjà sous forme réduite de Jordan, ce qui permet d’associer
le sous-espace central F^. aux quatre premières composantes, et le sous-espace
stable Es aux composantes suivantes.
• Dans Ec =
les orbites sont portées par des produits cartésiens de cercles
donc par des tores. Le seul équilibre y est 0 et est simplement stable.
• Dans Es, les orbites sont des demi-droites issues de 0 ; le seul équilibre dans
Es est encore 0.
Donc 0 est sim plem ent stable ; étant l’unique équilibre de 5, il est isolé.
2. Si O' = p/q, fraction irréductible, l’orbite de tout élément de Ec est périodique
de période Inq. En revanche, si a est irrationnel, les trajectoires dans Ec sont
presque-périodiques : elles sont denses sur des tores de Ec, mais n e son t pas
périod iqu es. Il en est de même a fortiori pour les trajectoires dans W \ car leurs
composantes de rangs 5, ••• , n sont à décroissance exponentielle, et ne permettent donc aucune périodicité.
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Exercice 7.4 Composantes connexes d’un ensemble-limite
Hypothèse : ù){zç> ) admet une partition en deux fermés : ùj{zo) = A U B, dont A
composante connexe bornée.
A étant compact, A n B = Q ^ d{A, B) = J > 0. L’ensemble F = {z e H ; d{z, A ) =
d/3] est la frontière du voisinage V de /1 défini par V = {z G H ; d{z, /1) < d/3]. Fermé
et borné, F est compact. Or, la trajectoire (pit, zo) visite en des temps arbitrairement
grands les ouverts disjoints V et W , où W est la boule S ( b , d/3), avec b élément
quelconque de B. Elle visite donc la frontière F de V en des temps arbitrairement
grands.
Donc, V« G N*, 3tn > n tel que Zn = (pihx, zo) ^ F. Comme F est compact, on
peut extraire de la suite z,i une sous-suite qui converge vers un point z* de F : ce
point n’appartient ni à A ni à F car il est distant d’au moins d/3 de chacun de ces
deux ensembles. Or, il appartient à tu(zo)- Ceci est contradictoire avec le fait que
= Ayj b . Donc, b ne peut pas exister. Par conséquent, si A est borné, 6u(zo) = A.
En d’autres termes : si o>(zo) p o ssèd e p lu sieu rs com posantes connexes^ a u cu n e est
com pacte.
Si io(zo) possède une composante connexe unique, celle-ci peut être compacte ou
non.
Exercice 7.5 Un cas d’absence de cycles
•O O c
û
U D
O
(N
O
oi
' v_
>Q.
O
U
1. La matrice A est déjà sous forme réduite de Jordan, ce qui permet d’associer
le sous-espace central F^. aux quatre premières composantes, et le sous-espace
stable Es aux composantes suivantes.
• Dans Ec =
les orbites sont portées par des produits cartésiens de cercles
donc par des tores. Le seul équilibre y est 0 et est simplement stable.
• Dans Es, les orbites sont des demi-droites issues de 0 ; le seul équilibre dans
Es est encore 0.
Donc 0 est sim plem ent stable ; étant l’unique équilibre de 5, il est isolé.
2. Si O' = p/q, fraction irréductible, l’orbite de tout élément de Ec est périodique
de période Inq. En revanche, si a est irrationnel, les trajectoires dans Ec sont
presque-périodiques : elles sont denses sur des tores de Ec, mais n e son t pas
périod iqu es. Il en est de même a fortiori pour les trajectoires dans W \ car leurs
composantes de rangs 5, ••• , n sont à décroissance exponentielle, et ne permettent donc aucune périodicité.
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