Chapitre 7
- Soit maintenant y e a>(x) : alors, il existe une suite (r„) tendant vers l’infini telle
que lim
x) = y.
Donc, pour tout i > 0, l’ensemble {tnJn > t} est infini. Ceci entraîne d{y,
= 0,
c’est-à-dire y e (j)t+. Comme cette relation vaut pour tout r, on a ^ G P|
c’est-à_
/>()
d i r e y G üj{x). Donc, ù) { x ) c
En conclusion, ô j ( x ) = cl>(x ) : les deux définitions sont é q u iv a l e n t e s .
Exercice 7.2 Orbite non-bornée et ensemble-limite
On peut définir dans
un système linéaire en jî et en ^ instable dont les trajectoires sont des spirales logarithmiques issues du point (0, 0). Si l’on transforme le
système par un difféomorphisme appliquant
sur le demi-plan d’ordonnée positive,
par exemple (x, y)
(x, z =
on obtient des trajectoires qui admettent l’axe des
JC comme ensemble-limite.
•a
O c
1 3
û
Ю
tH
O
( N
C T
>.
C L
O
U
Q
@
Exercice 7.3 Point isolé d’un ensemble-limite
On sait déjà qu’un ensemble-limite peut ne pas être connexe ; par exemple, il peut être
(voir figure 7.3) constitué de deux droites parallèles. Mais dans ce cas, il ne contient
aucun point isolé.
Hypothèse : cu(zo) contient a isolé, et un autre point b ^ a.
Soit V(a) un voisinage quelconque de a. Il contient une boule fermée B{a, s) incluse
dans V(a) et de rayon positif s < d(a, b)/3. Appelons B a l’intérieur de cette boule, et
Bfj la boule ouverte B(b, s). La trajectoire
zo) visite en des temps arbitrairement
grands les boules disjointes Ba et
donc aussi leurs frontières respectives C« et Ch.
Donc, Vn G N*, 3 tn > n tel que Zn = (pCm ^o) ^ Ca. Comme C« est compact, on peut
extraire de la suite Zn une sous-suite qui converge vers un point z* de Ca : ce point
distinct de a appartient à îu(zo) D V(a).
Or, on peut trouver un tel point dans tout voisinage de a. Ceci montre que a est p a s
un p o in t iso lé de ùj(zo)- L’hypothèse initiale est à écarter, ce qui signifie que si ùj(zo)
contient un point isolé a, alors il ne contient pas d’autre point :
S i iu(zo) con tien t a isolé, îu(zo) = {«}•
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- Soit maintenant y e a>(x) : alors, il existe une suite (r„) tendant vers l’infini telle
que lim
x) = y.
Donc, pour tout i > 0, l’ensemble {tnJn > t} est infini. Ceci entraîne d{y,
= 0,
c’est-à-dire y e (j)t+. Comme cette relation vaut pour tout r, on a ^ G P|
c’est-à_
/>()
d i r e y G üj{x). Donc, ù) { x ) c
En conclusion, ô j ( x ) = cl>(x ) : les deux définitions sont é q u iv a l e n t e s .
Exercice 7.2 Orbite non-bornée et ensemble-limite
On peut définir dans
un système linéaire en jî et en ^ instable dont les trajectoires sont des spirales logarithmiques issues du point (0, 0). Si l’on transforme le
système par un difféomorphisme appliquant
sur le demi-plan d’ordonnée positive,
par exemple (x, y)
(x, z =
on obtient des trajectoires qui admettent l’axe des
JC comme ensemble-limite.
•a
O c
1 3
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O
( N
C T
>.
C L
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Q
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Exercice 7.3 Point isolé d’un ensemble-limite
On sait déjà qu’un ensemble-limite peut ne pas être connexe ; par exemple, il peut être
(voir figure 7.3) constitué de deux droites parallèles. Mais dans ce cas, il ne contient
aucun point isolé.
Hypothèse : cu(zo) contient a isolé, et un autre point b ^ a.
Soit V(a) un voisinage quelconque de a. Il contient une boule fermée B{a, s) incluse
dans V(a) et de rayon positif s < d(a, b)/3. Appelons B a l’intérieur de cette boule, et
Bfj la boule ouverte B(b, s). La trajectoire
zo) visite en des temps arbitrairement
grands les boules disjointes Ba et
donc aussi leurs frontières respectives C« et Ch.
Donc, Vn G N*, 3 tn > n tel que Zn = (pCm ^o) ^ Ca. Comme C« est compact, on peut
extraire de la suite Zn une sous-suite qui converge vers un point z* de Ca : ce point
distinct de a appartient à îu(zo) D V(a).
Or, on peut trouver un tel point dans tout voisinage de a. Ceci montre que a est p a s
un p o in t iso lé de ùj(zo)- L’hypothèse initiale est à écarter, ce qui signifie que si ùj(zo)
contient un point isolé a, alors il ne contient pas d’autre point :
S i iu(zo) con tien t a isolé, îu(zo) = {«}•
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