Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
5. Propriétés des trajectoires.
- Les 2 trajectoires périodiques sont des cycles-lim ites (voir § 7.2.2 pour les
définitions) :
* pour t
* pour t
- o o pour le cercle p = 1 (cycle o'-limite) ;
+00 pour le cercle p = 2 (cycle iu-limite).
- Pour p < 2, la plage temporelle de définition de tout état est R entier.
Pour p > 2, il y a n aissan ce im plosive à un instant déterminé îq, car pour
p — > - o o , p est équivalent à -p^. L’orbite admet pour î
infinie de direction asym ptotique 6^(io)- Toute transformée d’une orbite par rotation autour de 0 est une orbite.
6. Portrait de phases :
/(I une branche
p = 2
•O O
c
D
Q
vo
O rsj
O
+ -<
JZ
CTI
>•
Q .
O
( J
C h a p i t r e 7
Deux définitions équivalentes de rensemble-limite
Exercice 7.1
Posons :
= n {(pis, x), s> t}
/>()
ùj(x) = ensemble des point ^ de tels qu’il existe une suite réelle (tn) tendant vers
+00, avec lim 0(i,^, x) = y
- Soit y e a)(x) : alors, V/ > 0, y e
x), s > t}. Pour alléger l’écriture, nous
noterons (/)t+ = {0(5, x), s > t]. Pour tout n E N*, y e 0„+. Donc, la distance de ^ à
1 ^
(f)n+ est nulle. Ceci signifie qu’il existe tn — n tel que d(y, (p(tn, x)) < - . La suite
~
^
^
tendant vers l’infini, y e o j. Donc, î o { x ) C î u ( jc ) .
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