Chapitre 6
R e m a r q u e s
(a) La courbe y =
Inx est tangente à l’axe des x, admet le minimum -\/{2e)
pour X = \/yfë, passe par le point (1, 0) puis admet une branche parabolique
verticale.
(b) Tous les minima sont placés sur la parabole y = -x~l2.
(c) Une étude complémentaire montrerait qu’il existe une conjugaison de
classe C' entre S et Sl (ce qui est plus précis que le théorème de HartmanGrobman), mais qu’il n’en existe pas de classe
bien que / soit polynomiale donc de classe C~.
Ceci peut se pressentir en observant que la courbure des orbites en z\ est
infinie.
P r o b l è m e 6 .2 U n s y s t è m e d e d i m e n s i o n 2
1. /(0 ) = 0 = > 0 est un équilibre. Mais pour z = 5 ^ 0, la 2^ coordonnée de / dans
"R\ étant alors non-nulle, z n’est pas un équilibre.
U u n iq u e équilibre est d o n c z = 0.
2. La dérivée temporelle de F est égale au produit scalaire V F ./
Les iso-F étant les cercles de centre 0, VF est radial, de mesure 2p selon ü.
Par conséquent, V F . f =
= 2 p H \ - p ) ( p - 2 )
On peut aussi établir ce résultat à partir de F = 2pp. Dans le disque unité
ouvert, cette fonction est strictement négative hors de 0, nulle en 0.
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y )
xz
O J
>Q.
O
U
û
@
Par conséquent, F est u n e fo n c tio n de Liapoun ov dans le disque p < 1.
3. Il résulte immédiatement de la question précédente que
l’équilibre 0 est asym ptotiquem ent stable.
4. Comme tout système unidimensionnel, le système p = p (1 -p )(p -2 ) ne compte
que ses équilibres comme trajectoires périodiques au sens large (plus précisément : les trajectoires t\- ^ a ,o ù a est un équilibre).
Le système S ne peut donc présenter comme trajectoires périodiques que celles
correspondant à p = 0, 1 ou 2. Or, en tout point de
on s l 6 = 1.
Les cercles p = 1 et p = 2 sont donc des trajectoires décrites à vitesse constante
(respectivement 1 et 2) dans le sens direct : ils correspondent à des trajectoires
périodiques, de même période 2tt.
En résumé, outre la trajectoire r i-> 0, qui admet tout réel positif comme période, le système compte d eu x trajectoires circulaires con cen triq uesde même
période 2n.
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R e m a r q u e s
(a) La courbe y =
Inx est tangente à l’axe des x, admet le minimum -\/{2e)
pour X = \/yfë, passe par le point (1, 0) puis admet une branche parabolique
verticale.
(b) Tous les minima sont placés sur la parabole y = -x~l2.
(c) Une étude complémentaire montrerait qu’il existe une conjugaison de
classe C' entre S et Sl (ce qui est plus précis que le théorème de HartmanGrobman), mais qu’il n’en existe pas de classe
bien que / soit polynomiale donc de classe C~.
Ceci peut se pressentir en observant que la courbure des orbites en z\ est
infinie.
P r o b l è m e 6 .2 U n s y s t è m e d e d i m e n s i o n 2
1. /(0 ) = 0 = > 0 est un équilibre. Mais pour z = 5 ^ 0, la 2^ coordonnée de / dans
"R\ étant alors non-nulle, z n’est pas un équilibre.
U u n iq u e équilibre est d o n c z = 0.
2. La dérivée temporelle de F est égale au produit scalaire V F ./
Les iso-F étant les cercles de centre 0, VF est radial, de mesure 2p selon ü.
Par conséquent, V F . f =
= 2 p H \ - p ) ( p - 2 )
On peut aussi établir ce résultat à partir de F = 2pp. Dans le disque unité
ouvert, cette fonction est strictement négative hors de 0, nulle en 0.
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y )
xz
O J
>Q.
O
U
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@
Par conséquent, F est u n e fo n c tio n de Liapoun ov dans le disque p < 1.
3. Il résulte immédiatement de la question précédente que
l’équilibre 0 est asym ptotiquem ent stable.
4. Comme tout système unidimensionnel, le système p = p (1 -p )(p -2 ) ne compte
que ses équilibres comme trajectoires périodiques au sens large (plus précisément : les trajectoires t\- ^ a ,o ù a est un équilibre).
Le système S ne peut donc présenter comme trajectoires périodiques que celles
correspondant à p = 0, 1 ou 2. Or, en tout point de
on s l 6 = 1.
Les cercles p = 1 et p = 2 sont donc des trajectoires décrites à vitesse constante
(respectivement 1 et 2) dans le sens direct : ils correspondent à des trajectoires
périodiques, de même période 2tt.
En résumé, outre la trajectoire r i-> 0, qui admet tout réel positif comme période, le système compte d eu x trajectoires circulaires con cen triq uesde même
période 2n.
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