Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
T 3
O
c
û
O
rsj
(5)
s z
gi
>Q .
O
U
1. On a v/(z) =
1 0^
^0^
Le système est hyperbolique d’indice (0, 0, 2), donc instable. D’après le théorème de Hartman-Grobman, zi est également un équilibre instable de S .
On obtient le linéarisé 5 '¿en z = IqI = Z\
2. Les valeurs propres sont À\ = \ ci À2 = 2. Cet exemple est traité dans le paragraphe 6.5.2 : on a une résonance ordre k = 2.
3. Notant (xq, yo) les coordonnées du point zo = z(0), on a x(t) = xqc^, d’où
ÿ = 2y + x^ = 2y + Xq . Si on cherche y{t) sous la forme (f{t)e^\ on obtient
(p = x^, d’où
= x lt+ C ; y(0) = yo fournit C = i/o, d’où y{t) = {yo + xl t)
et l’expression du flot est rt 2l
\{yo + r)
• Pour .xo ^ 0, on a l’équation de l’orbite du point zo : y = Inx + mo x^
avec mo = { y d x ^ - InxQ. Ces courbes sont toutes tangentes en zi à l’axe def
abscisses.
• Pour jco = 0 et ^0 ^ 0^ Iss deux demi-axes des ordonnées sont des orbites.
• Enfin, l’équilibre z\ constitue une orbite.
Ce qui précède justifie l’allure du portrait de phases esquissé par la figure 6.5.a
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