Chapitre 6
(c) Sur D, le système se réduit à i = x ( l - x ) . D ’où
dx
dx
dx
X ( 1 - X )
X
1 - JC
dt, qui s’intégre, avec les conditions initiales (îq, xq) = (0, - 1 ), en :
In(-x) - In(-xo) - ln(l - ^) + ln(l - xq) = t, c’est-à-dire :
JC
.
= t - \n 2 . Donc,
In
X -
X
1
----- - = e x p (i- ln 2 ) = - e '
X - 1
2
On a par conséquent :
cette solution explose p o u r t\ = In 2.
3. (a) Nous avons
, et par conséquent :
V/(^o) = V /(0, 0) =
0
V /(^i) = V /( l,0 ) =
' 0 1^
-1 Oi
v / f e ) = v / ( l , 1 ) =
0 -1 '
-1
0
V /(^3) = V /(0, 1 ) =
^0 -1 '
d
0
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y )
gj
>•
C L
O
U
û
©
Les équilibres e{) et C2 sont associés aux valeurs propres -i-l et -1 et sont
donc instables pour les systèmes linéarisés.
Les équilibres e\ et ^3 sont associés aux valeurs propres -1-/ et - / et sont
donc sim plem ent stables pour les systèmes linéarisés.
(b) • cq et é'2 sont hyperboliques de même indice (1,0, 1). D ’après le 2^ théorème de Liapounov, ils sont aussi instables p o u r S.
•
et ^3 sont non-hyperboliques de même indice (0, 2, 0). On ne peut à
ce stade rien co n clu re quant à leur stabilité pour le système S .
4. L’isocline horizontale 4 est donnée par ÿ = 0 et jc 0. C’est donc la réunion
des droites x = 0 et x = 1 , privée des équilibres.
L’isocline verticale 4 est donnée par jc = 0 et î) ^ 0. C’est donc la réunion des
droites ^ = 0 et ^ = 1 , privée des équilibres.
5. On ne sait pas à ce stade s’il existe des orbites périodiques autour de é'i et ^3,
ni si ces équilibres sont ou non asymptotiquement stables. On ne connaît pas
non plus les conditions de naissance implosive et de mort explosive. Voici une
esquisse du portrait de phases du système :
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