Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
baptisée q \. Le résultat s’étend donc à tout k : ±i V S ^st valeur propre.
Le spectre de
est donc Sp(Vfx^^) = [± i VS» • • • »
•
3. Soit X = {q, p) .vo
Si /7 = 0 , alors q ^ qç), d’où V{q) > V{qo) et H{x) - V(q) > ^ ( aq)
W pf .
^ IIp IP
Si /7 ^ 0 , alors H{x) =
+ V{q) >
+ Vtn > Vrri — -^(Ao)
2
“ 2
Dans les deux cas, H{x) - H{xq) est égal à une constante positive. Comme H
reste constant sur une trajectoire, il en est de même pour H[(p{î, x)]. En raison
de la continuité de //, il n’est pas possible que (f){t, x) tende vers xq. En d’autres
termes, ^ équ ilibre jcq est pas asym ptotiquem ent stable.
Exercice 6.2 Un équilibre stable mais sans fonction de Liapounov
1. On a montré en exercice 3.2 que pour le système S , l’équilibre 0 est en même
temps stable et centrifuge (en presque tout point, x est du signe de x). Ceci signifie qu’une fonction H(x) de classe
décroissante sur trajectoire (condition
nécessaire pour être une fonction de Liapounov) doit être décroissante au sens
large sur R+, croissante sur R_. Une telle fonction ne saurait présenter un minimum strict en 0. Bien au contraire, elle est maximale (au sens large) en 0.
Donc, il n ^existe pas de fo n c tio n de L iapoun ov au voisinage de 0.
2. Généralisation à R" : le corrigé de l’exercice 3.2 fournit à nouveau la solution :
9
9 1
la fonction f{x) = X. ||jc|| sin
où X G R”, définit un système linéaire de
classe C' sur R" pour lequel l’équilibre 0 est stable et centrifuge. Le raisonnement fait en question précédente sur R s’applique.
•O O c
û
U D
O
rsJ
O
s z
C T )
' v_
>Q .
O
U
Problème 6.1 Un système polynomial de dimension 2
1. Les équilibres du systèmes sont donnés par i
^ , ce qui fournit
( ^ = x ( l - x ) = 0
les quatre équilibres :
, ^2 = j , ^3 = i j j/x( 1 - x)\
2. (a) f(y , x) = L q _
^st le symétrique par rapport à D de /(x , y).
Donc, le f lo t est sym étrique p a r rapport à D .
(b) Pour x = y, z =
^ restant parallèle au vecteur | | j, l’état ne peut
évoluer que sur la droite D, qui est donc invariante p a r le flo t.
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baptisée q \. Le résultat s’étend donc à tout k : ±i V S ^st valeur propre.
Le spectre de
est donc Sp(Vfx^^) = [± i VS» • • • »
•
3. Soit X = {q, p) .vo
Si /7 = 0 , alors q ^ qç), d’où V{q) > V{qo) et H{x) - V(q) > ^ ( aq)
W pf .
^ IIp IP
Si /7 ^ 0 , alors H{x) =
+ V{q) >
+ Vtn > Vrri — -^(Ao)
2
“ 2
Dans les deux cas, H{x) - H{xq) est égal à une constante positive. Comme H
reste constant sur une trajectoire, il en est de même pour H[(p{î, x)]. En raison
de la continuité de //, il n’est pas possible que (f){t, x) tende vers xq. En d’autres
termes, ^ équ ilibre jcq est pas asym ptotiquem ent stable.
Exercice 6.2 Un équilibre stable mais sans fonction de Liapounov
1. On a montré en exercice 3.2 que pour le système S , l’équilibre 0 est en même
temps stable et centrifuge (en presque tout point, x est du signe de x). Ceci signifie qu’une fonction H(x) de classe
décroissante sur trajectoire (condition
nécessaire pour être une fonction de Liapounov) doit être décroissante au sens
large sur R+, croissante sur R_. Une telle fonction ne saurait présenter un minimum strict en 0. Bien au contraire, elle est maximale (au sens large) en 0.
Donc, il n ^existe pas de fo n c tio n de L iapoun ov au voisinage de 0.
2. Généralisation à R" : le corrigé de l’exercice 3.2 fournit à nouveau la solution :
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la fonction f{x) = X. ||jc|| sin
où X G R”, définit un système linéaire de
classe C' sur R" pour lequel l’équilibre 0 est stable et centrifuge. Le raisonnement fait en question précédente sur R s’applique.
•O O c
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Problème 6.1 Un système polynomial de dimension 2
1. Les équilibres du systèmes sont donnés par i
^ , ce qui fournit
( ^ = x ( l - x ) = 0
les quatre équilibres :
, ^2 = j , ^3 = i j j/x( 1 - x)\
2. (a) f(y , x) = L q _
^st le symétrique par rapport à D de /(x , y).
Donc, le f lo t est sym étrique p a r rapport à D .
(b) Pour x = y, z =
^ restant parallèle au vecteur | | j, l’état ne peut
évoluer que sur la droite D, qui est donc invariante p a r le flo t.
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