Chapitre 6
orbites rectilignes, ce qui montre que toute orbite non rectiligne est h o m o th étique de Vorbite
= jc I n x .
On remarquera que l’équilibre {(0, 0)} en tant qu’orbite est obtenu pour /1 = 0.
C h a p i t r e 6
Exercice 6.1 Équilibre d’un système hamiltonien
1. Soit Uq un voisinage de xq. L’hamiltonien H est strictement minimum en xq, de
valeur //„J = Vm.
Il admet donc un minimum
+ ô (avec ^ > 0) hors de î/ q. V étant continu, il
existe un voisinage U\ de qo dans
tel que q e U\ = > V(q) <
+ Ô/2. De
même, il existe un voisinage I/2 de 0 dans R" tel que p ^ U2 = > llplP/2 < ôjl.
Soit 173 = U\ x U 2 \ c’est un voisinage de xq dans R^'\ Si x G t/3, alors
H{x) < Vrn + ô jl + ôjl = V,n + ô. Ceci implique
x)) <
ô car H
est constant sur toute trajectoire. Donc, x e U3 ==^> V/ > 0,
x) e Uq,
Par conséquent, xo = (^0, 0) est un équilibre stable.
CL
O
U
Q
@
2. (a) / ( X ) =
P\
Pn
-dVjdqx
-dVjdq nj
TJ
( 0
0
1
0^
c
û
■
LD
d^V
0
0
0
1
0 (N
-O
c
3
D’où, avec
= — ^(^0) ^ 0,
dXk
'^JXQ — -a \
0
0
0
0 >
(A.
O J
‘ s_
> .
O
s
c
0
~CLn 0
oj
(b) Après échange convenable des vecteurs de base de )2n
0
la matrice
1
devient bloc-diagonale, avec le bloc 2 x 2 suivant : I ^ * I, et un bloc
\-a \ 0/
{2n - 2) X (2n - 2).
Il en résulte que ±i
sont valeurs propres. Or, ces valeurs propres
sont attachées à la coordonnée généralisée q\ mais toute qi aurait pu être
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orbites rectilignes, ce qui montre que toute orbite non rectiligne est h o m o th étique de Vorbite
= jc I n x .
On remarquera que l’équilibre {(0, 0)} en tant qu’orbite est obtenu pour /1 = 0.
C h a p i t r e 6
Exercice 6.1 Équilibre d’un système hamiltonien
1. Soit Uq un voisinage de xq. L’hamiltonien H est strictement minimum en xq, de
valeur //„J = Vm.
Il admet donc un minimum
+ ô (avec ^ > 0) hors de î/ q. V étant continu, il
existe un voisinage U\ de qo dans
tel que q e U\ = > V(q) <
+ Ô/2. De
même, il existe un voisinage I/2 de 0 dans R" tel que p ^ U2 = > llplP/2 < ôjl.
Soit 173 = U\ x U 2 \ c’est un voisinage de xq dans R^'\ Si x G t/3, alors
H{x) < Vrn + ô jl + ôjl = V,n + ô. Ceci implique
x)) <
ô car H
est constant sur toute trajectoire. Donc, x e U3 ==^> V/ > 0,
x) e Uq,
Par conséquent, xo = (^0, 0) est un équilibre stable.
CL
O
U
Q
@
2. (a) / ( X ) =
P\
Pn
-dVjdqx
-dVjdq nj
TJ
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0
1
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c
û
■
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0
0
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1
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D’où, avec
= — ^(^0) ^ 0,
dXk
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0
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c
0
~CLn 0
oj
(b) Après échange convenable des vecteurs de base de )2n
0
la matrice
1
devient bloc-diagonale, avec le bloc 2 x 2 suivant : I ^ * I, et un bloc
\-a \ 0/
{2n - 2) X (2n - 2).
Il en résulte que ±i
sont valeurs propres. Or, ces valeurs propres
sont attachées à la coordonnée généralisée q\ mais toute qi aurait pu être
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