Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
4. R e m a r q u e s
(a) Quelle que soit la valeur de ¡a , la courbure est positive (la trajectoire « tourne
à gauche ») pour p <
+ p - , négative (la trajectoire «tourne à droite »)
pour P > -^1
(b) Comme p croît en p- à l’infini, il y a mort explosive. L’angle 9 est fonction
affine du temps. La mort explosive à un 6 ^ limite survient après changement
de signe de la courbure pour les trajectoires concernées (toutes pour p < 0).
(c) Le flot présente une symétrie de révolution ; si R représente une rotation
plane autour de 0, f { R z ) = R ( f ( z ) ) . Il en résulte que l’ensemble cherché en
question 2 était nécessairement composé de cercles de centre 0.
(d) À la traversée de la valeur p = 0 , l’équilibre 0 devient stable, et un cyclelimite apparaît. Il y a donc bifurcation, qui présente les caractéristiques de
celle vue en cours : p = 0 correspond à une bifurcation de Hopf (voir le
chapitre 9).
Exercice 5.2 Bendixson : nécessité de la simple connexité
1. Div / =
= 3x^ + y^ - \ + + 3y^ - 1, soit Div / = 4
ox
oy
^
2. Dans D, x^ + y^ >
donc Div / > 4 ( ^ - ^), c’est-à-dire Div f > \Sur le cercle unité, la dynamique se réduit à f{x , y) = |
ce qui montre que
ce cercle est décrit à vitesse constante. Donc D contient le cercle unité, orbite
périodique.
Exercice 5.3 Équations d’orbites
T3 O
c
D
û
U D
O
(N
©
C T
>Q .
O
( J
1. La valeur propre -1 est double, mais l’espace propre correspondant, généré par
le vecteur (0, 1) (vérification élémentaire) n’est que de dimension 1, ce qui
montre que le système n^estpas semi-simple.
Pour établir l’équation des trajectoires, le plus simple est d’écrire A = - I + N .
La matrice ^
| ^ q| étant nilpotente, le développement de son exponentielle se réduit à deux termes. On a donc
= e~^
- e~A ^ M, d’où
\ f
z{t) =
\-xo te ^ + yoe ^1
La trajectoire correspondant à la condition initiale zo = (1> 0) est donc z(t) =
qu’on peut aussi écrire z(t) = {x, x Injc). L’orbite est donc d’équation y = X Inx.
2. Pour tout À réel, l’homothétique de rapport À de l’orbite précédente est une
orbite, correspondant en particulier à la condition initiale zq = (À, 0). Or, l’ensemble de ces orbites est le plan entier privé de la réunion (0) x R* des deux
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4. R e m a r q u e s
(a) Quelle que soit la valeur de ¡a , la courbure est positive (la trajectoire « tourne
à gauche ») pour p <
+ p - , négative (la trajectoire «tourne à droite »)
pour P > -^1
(b) Comme p croît en p- à l’infini, il y a mort explosive. L’angle 9 est fonction
affine du temps. La mort explosive à un 6 ^ limite survient après changement
de signe de la courbure pour les trajectoires concernées (toutes pour p < 0).
(c) Le flot présente une symétrie de révolution ; si R représente une rotation
plane autour de 0, f { R z ) = R ( f ( z ) ) . Il en résulte que l’ensemble cherché en
question 2 était nécessairement composé de cercles de centre 0.
(d) À la traversée de la valeur p = 0 , l’équilibre 0 devient stable, et un cyclelimite apparaît. Il y a donc bifurcation, qui présente les caractéristiques de
celle vue en cours : p = 0 correspond à une bifurcation de Hopf (voir le
chapitre 9).
Exercice 5.2 Bendixson : nécessité de la simple connexité
1. Div / =
= 3x^ + y^ - \ + + 3y^ - 1, soit Div / = 4
ox
oy
^
2. Dans D, x^ + y^ >
donc Div / > 4 ( ^ - ^), c’est-à-dire Div f > \Sur le cercle unité, la dynamique se réduit à f{x , y) = |
ce qui montre que
ce cercle est décrit à vitesse constante. Donc D contient le cercle unité, orbite
périodique.
Exercice 5.3 Équations d’orbites
T3 O
c
D
û
U D
O
(N
©
C T
>Q .
O
( J
1. La valeur propre -1 est double, mais l’espace propre correspondant, généré par
le vecteur (0, 1) (vérification élémentaire) n’est que de dimension 1, ce qui
montre que le système n^estpas semi-simple.
Pour établir l’équation des trajectoires, le plus simple est d’écrire A = - I + N .
La matrice ^
| ^ q| étant nilpotente, le développement de son exponentielle se réduit à deux termes. On a donc
= e~^
- e~A ^ M, d’où
\ f
z{t) =
\-xo te ^ + yoe ^1
La trajectoire correspondant à la condition initiale zo = (1> 0) est donc z(t) =
qu’on peut aussi écrire z(t) = {x, x Injc). L’orbite est donc d’équation y = X Inx.
2. Pour tout À réel, l’homothétique de rapport À de l’orbite précédente est une
orbite, correspondant en particulier à la condition initiale zq = (À, 0). Or, l’ensemble de ces orbites est le plan entier privé de la réunion (0) x R* des deux
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