Chapitre 5
Problème 5.1 Points d’inflexion des orbites
1 . La composante radiale de z, proportionnelle k
- ju, est nulle si p =
pour P > 0 (avec p =
+ y^). Donc, p o u r p > 0 ,
cercle p = ^fii est
invariant p a r le flo t.
En un équilibre, on a nécessairement p = Cte, d’où p = 0 ou p =
si p > 0.
La première valeur correspond à l’équilibre 0, la seconde à l’orbite circulaire
de période 2n précédemment identifiée, qui ne comporte aucun équilibre. Par
conséquent, p o u r tout p , S = {0}.
Nota : cet équilibre est instable et r ép u lsif si p < 0, asym ptotiquem ent stable
si p > 0.
2. Le flot est centriguge pour p > ^p, centripète pour p < ^fil, d’où les portraits :
Figure 14.5
3. courbure : les points d’inflexion au sens large sont les points de courbure nulle.
Or annuler la courbure conduit à annuler / A ( V / . /) , ce qui fournit en outre les
équilibres. On obtient d’abord :
T J
O
c
rj
Q
kD
O
rsl
(y )
>Q .
O
U
v / . / =
2x^ + 6x^y^ + 3xy^^ - 4p x ’ - 2x^y - 4p xy^ - 2y'^ +
- l)jc + 2p y
3y^ + 6x^y^ + 3x^y - 4py^ + 2xy^ - 4p x^y + 2x^ + (p^ - \)y - 2 p x
Ensuite, le produit vectoriel de / par l’expression précédente fournit a priori un
polynôme de degré 8 ; mais en raison des symétries du problème, l’expression
(assez lourde !) se simplifie en un polynôme de degré 6 :
/ A (V /. /) = (jc" + y^) [1+fi^+ y^f]
a
@
Le fait que l’expression soit fonction de p^ découle simplement de la symétrie
de révolution du champ, x^ + y^ = 0 fournit l’équiibre 0, qui n’est pas un point
d’inflexion. Les points d’inflexion s’obtiennent en annulant le 2® facteur, soit
(x^ + y^Ÿ = 1 + p^. Leur lieu est donc le cercle C(0,
243
Problème 5.1 Points d’inflexion des orbites
1 . La composante radiale de z, proportionnelle k
- ju, est nulle si p =
pour P > 0 (avec p =
+ y^). Donc, p o u r p > 0 ,
cercle p = ^fii est
invariant p a r le flo t.
En un équilibre, on a nécessairement p = Cte, d’où p = 0 ou p =
si p > 0.
La première valeur correspond à l’équilibre 0, la seconde à l’orbite circulaire
de période 2n précédemment identifiée, qui ne comporte aucun équilibre. Par
conséquent, p o u r tout p , S = {0}.
Nota : cet équilibre est instable et r ép u lsif si p < 0, asym ptotiquem ent stable
si p > 0.
2. Le flot est centriguge pour p > ^p, centripète pour p < ^fil, d’où les portraits :
Figure 14.5
3. courbure : les points d’inflexion au sens large sont les points de courbure nulle.
Or annuler la courbure conduit à annuler / A ( V / . /) , ce qui fournit en outre les
équilibres. On obtient d’abord :
T J
O
c
rj
Q
kD
O
rsl
(y )
>Q .
O
U
v / . / =
2x^ + 6x^y^ + 3xy^^ - 4p x ’ - 2x^y - 4p xy^ - 2y'^ +
- l)jc + 2p y
3y^ + 6x^y^ + 3x^y - 4py^ + 2xy^ - 4p x^y + 2x^ + (p^ - \)y - 2 p x
Ensuite, le produit vectoriel de / par l’expression précédente fournit a priori un
polynôme de degré 8 ; mais en raison des symétries du problème, l’expression
(assez lourde !) se simplifie en un polynôme de degré 6 :
/ A (V /. /) = (jc" + y^) [1+fi^+ y^f]
a
@
Le fait que l’expression soit fonction de p^ découle simplement de la symétrie
de révolution du champ, x^ + y^ = 0 fournit l’équiibre 0, qui n’est pas un point
d’inflexion. Les points d’inflexion s’obtiennent en annulant le 2® facteur, soit
(x^ + y^Ÿ = 1 + p^. Leur lieu est donc le cercle C(0,
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