Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
•O O c
û
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O
(N
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JZ
C T )
' v_
>Q.
O
U
R e m a r q u e s
(a) l’assertion O rh (x ) c]a, h\ n’est plus valable si f n’est pas localement lipschitzienne, car alors la trajectoire peut « franchir » des équilibres. Il n’y a
plus nécessairement unicité des orbites. Celles-ci, tout en demeurant des
intervalles, ne sont pas nécessairement des ouverts.
(b) a = Suplz e 6 ; z < x} si ce Sup existe, sinon a = - o o
h = Inf (z e £ ; Z > x} si ce Inf existe, sinon b = +(x>
2. Sur ]a, b[, f(x ) est non-nulle et continue, donc de signe constant : par conséquent, le déplacement de x(t) sur R se fait intégralement vers la droite (si / > 0)
ou vers la gauche (si / < 0). Autrement dit, le flot t e J(x) t-^ 0(r, x) est
m onotone. Il l’est strictem ent, sans quoi / s’annulerait sur une partie de
b[.
3. (a) • Soit .V régulier et J{x) =]tj, tf[. On a /? G R, et f(b ) = 0.
Hypothèse i t f < +oo. Le flot étant monotone (question 2), 0(r, x) tend
vers b quand t — » ou quand t ^ t J : adoptons cette dernière éventualité
(le cas t ^ t~. se traite de façon semblable). Si tf
-f-oo, les deux trajectoires :
f t e]ti, tf[ 1 -^ (p{t, x)
,
1- •
^ 1
<
^
,
et r > /; 1 -^ £? sont distinctes car pour / = 0 la
[ t > t f
b
'
^
première vaut x et la seconde b, distinct de x Mais elles se coupent pour
t > tf, ayant alors la même valeur b. Ceci contredit le théorème de Cauchy.
Il faut donc rejeter l’hypothèse tf < -i-oo.
De la même manière, on rejette > -oo, d’où J{x) = R. •
• Si maintenant x est un équilibre, on a de façon évidente Orb{x) = {x} et
J{x) = R. En résumé :
L a p la g e tem porelle J{x) de tout p o in t x d^orbite born ée est
entier.
(b) Si Orb{x) n’est pas bornée, trois cas sont possibles :
i. J{x) = R : c’est le cas par exemple pour tout système linéaire x - ax,
ou pour X = l ;
ii. J(x) est une demi-droite ouverte : c’est le cas par exemple du système
X = x^ .L sl plage temporelle est illimitée à droite si xq < 0 (il y a alors
naissance implosive k t = I/xq), à gauche si xq > 0 (il y a alors mort
explosive k t = I/xq) ;
iii. J(x) est un intervalle ouvert borné : c’est le cas par exemple du système
X = x^ + \ étudié au § 1.2.1. On retiendra en résumé que :
L a p la g e tem porelle J{x) d^un p o in t x d^orbite non bornée p e u t être M
entier, u n e dem i-droite ouverte ou un intervalle ouvert borné.
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(a) l’assertion O rh (x ) c]a, h\ n’est plus valable si f n’est pas localement lipschitzienne, car alors la trajectoire peut « franchir » des équilibres. Il n’y a
plus nécessairement unicité des orbites. Celles-ci, tout en demeurant des
intervalles, ne sont pas nécessairement des ouverts.
(b) a = Suplz e 6 ; z < x} si ce Sup existe, sinon a = - o o
h = Inf (z e £ ; Z > x} si ce Inf existe, sinon b = +(x>
2. Sur ]a, b[, f(x ) est non-nulle et continue, donc de signe constant : par conséquent, le déplacement de x(t) sur R se fait intégralement vers la droite (si / > 0)
ou vers la gauche (si / < 0). Autrement dit, le flot t e J(x) t-^ 0(r, x) est
m onotone. Il l’est strictem ent, sans quoi / s’annulerait sur une partie de
b[.
3. (a) • Soit .V régulier et J{x) =]tj, tf[. On a /? G R, et f(b ) = 0.
Hypothèse i t f < +oo. Le flot étant monotone (question 2), 0(r, x) tend
vers b quand t — » ou quand t ^ t J : adoptons cette dernière éventualité
(le cas t ^ t~. se traite de façon semblable). Si tf
-f-oo, les deux trajectoires :
f t e]ti, tf[ 1 -^ (p{t, x)
,
1- •
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première vaut x et la seconde b, distinct de x Mais elles se coupent pour
t > tf, ayant alors la même valeur b. Ceci contredit le théorème de Cauchy.
Il faut donc rejeter l’hypothèse tf < -i-oo.
De la même manière, on rejette > -oo, d’où J{x) = R. •
• Si maintenant x est un équilibre, on a de façon évidente Orb{x) = {x} et
J{x) = R. En résumé :
L a p la g e tem porelle J{x) de tout p o in t x d^orbite born ée est
entier.
(b) Si Orb{x) n’est pas bornée, trois cas sont possibles :
i. J{x) = R : c’est le cas par exemple pour tout système linéaire x - ax,
ou pour X = l ;
ii. J(x) est une demi-droite ouverte : c’est le cas par exemple du système
X = x^ .L sl plage temporelle est illimitée à droite si xq < 0 (il y a alors
naissance implosive k t = I/xq), à gauche si xq > 0 (il y a alors mort
explosive k t = I/xq) ;
iii. J(x) est un intervalle ouvert borné : c’est le cas par exemple du système
X = x^ + \ étudié au § 1.2.1. On retiendra en résumé que :
L a p la g e tem porelle J{x) d^un p o in t x d^orbite non bornée p e u t être M
entier, u n e dem i-droite ouverte ou un intervalle ouvert borné.
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