Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
Le L'* membre vaut 02(L î/)- Comme V\ = <^"'(^2), le 2^ membre appartient à V2En résumé : ij e W2 = > Vr > 0, 02(L y ) ^ ^ 2 , ce qui montre que Véquilibre ^(a)
est stable.
• a équilibre attractif : il existe un voisinage U\ àQ a tel que :
e U\,
lim 01 (r, x) = a.
>+ C X )
Comme 0 “ ^ est continue, 0 (t/i) est un voisinage U2 de 0 (a).
Soit y 6 t/2- Comme on Ta déjà vu, on a Vr > 0, 02ÎL 0(0~ki/))l = 0[0i(L
appartient à i / i , la limite de 0 i (r, 0 “ ^ (^))
vaut a quand t
0 0 . Mais 0 est continue, donc la limite du 2® membre vaut i//(a)
quand r ^ 00.
En résumé : y e U2 = > Hm 02(L y) = 0(ûî), ce qui montre que ^équilibre 0(a)
/— > C X )
attractif.
Nous rappelons toutefois la réserve émise au § 3.2.3 : un équilibre ne conserve pas
nécessairement son caractère attractif lors de la restriction du flot à un de ses voisinages. La même remarque vaut pour les équilibres répulsifs.
• a équilibre répulsif :
Par un raisonnement identique au précédent, on établit que dans ce cas Véquilibre
0 (a) est répulsif.
En raison de la symétrie de la conjugaison, les trois implications que nous venons
d’établir sont des équivalences. Il résulte alors des définitions des divers types d’équilibre que si a est un point de il 1 :
•O O c
Û
ю T— H
O rsJ
O
ai
‘1 ^
>C L
O
U
a e Q.\ et son image 0 (a) G ÎI2 sont de même nature :
- soit tous deux réguliers ;
- soit tous deux équilibres simplement stables ;
- soit tous deux équilibres attractifs ;
- soit tous deux équilibres répulsifs ;
- soit tous deux équilibres asymptotiquement stables ;
- soit tous deux équilibres instables.
Exercice 3.4 Un équilibre instable peut-il attirer tout Q?
Soit a équilibre instable de il.
1. £1 = Ж. Par définition : a instable <=> 3 s tel que pour tout г/ > 0, il existe
x\ e]a - q, a ql Qi t\ > 0 tels que |0(Г| , x\) - a\ > s. S\ l’on prend q < s.
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Le L'* membre vaut 02(L î/)- Comme V\ = <^"'(^2), le 2^ membre appartient à V2En résumé : ij e W2 = > Vr > 0, 02(L y ) ^ ^ 2 , ce qui montre que Véquilibre ^(a)
est stable.
• a équilibre attractif : il existe un voisinage U\ àQ a tel que :
e U\,
lim 01 (r, x) = a.
>+ C X )
Comme 0 “ ^ est continue, 0 (t/i) est un voisinage U2 de 0 (a).
Soit y 6 t/2- Comme on Ta déjà vu, on a Vr > 0, 02ÎL 0(0~ki/))l = 0[0i(L
appartient à i / i , la limite de 0 i (r, 0 “ ^ (^))
vaut a quand t
0 0 . Mais 0 est continue, donc la limite du 2® membre vaut i//(a)
quand r ^ 00.
En résumé : y e U2 = > Hm 02(L y) = 0(ûî), ce qui montre que ^équilibre 0(a)
/— > C X )
attractif.
Nous rappelons toutefois la réserve émise au § 3.2.3 : un équilibre ne conserve pas
nécessairement son caractère attractif lors de la restriction du flot à un de ses voisinages. La même remarque vaut pour les équilibres répulsifs.
• a équilibre répulsif :
Par un raisonnement identique au précédent, on établit que dans ce cas Véquilibre
0 (a) est répulsif.
En raison de la symétrie de la conjugaison, les trois implications que nous venons
d’établir sont des équivalences. Il résulte alors des définitions des divers types d’équilibre que si a est un point de il 1 :
•O O c
Û
ю T— H
O rsJ
O
ai
‘1 ^
>C L
O
U
a e Q.\ et son image 0 (a) G ÎI2 sont de même nature :
- soit tous deux réguliers ;
- soit tous deux équilibres simplement stables ;
- soit tous deux équilibres attractifs ;
- soit tous deux équilibres répulsifs ;
- soit tous deux équilibres asymptotiquement stables ;
- soit tous deux équilibres instables.
Exercice 3.4 Un équilibre instable peut-il attirer tout Q?
Soit a équilibre instable de il.
1. £1 = Ж. Par définition : a instable <=> 3 s tel que pour tout г/ > 0, il existe
x\ e]a - q, a ql Qi t\ > 0 tels que |0(Г| , x\) - a\ > s. S\ l’on prend q < s.
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