Chapitre 3
4. Pour E =
le point 0 est un équilibre :
- isolé et simplement stable pour le système = L
q |
- isolé et asymptotiquement stable pour le système x =
-1
0
0 -1
X.
Exercice 3.2 Un équilibre centrifuge mais stable
1. L’équilibre 0 est « protégé » par une infinité d’équilibres situés arbitrairement
près à sa droite et à sa gauche. Donc, 0 est stable.
f(x ) est, hors des équilibres, strictement négative pour x < 0, strictement positive pour X > 0. Donc presque tout point s’éloigne de 0, ce qui montre que cet
équilibre est centrifuge.
R e m a r q u e s
(a) On vérifie sans peine que f est continue sur R : le système est donc de
classe C'.
(b) 0 est stable mais pas asymptotiquement stable.
2. On peut généraliser à R^ en considérant la fonction /(x ) = x . ||x|p sin^
On pourrait aussi généraliser dans une autre voie en recherchant un système de
classe
;
la nouvelle fonction : /(x ) = x exp — - \ sin^ - répond à la question.
\
x 2 /
X
1
•a
O c
Q
tH
O
(N
X I
>Q.
O
U
Q
©
Exercice 3.3 Conservation de la nature d’un point par conjugaison
Il est déjà démontré (§ 3.2.5) que la conjugaison conserve la nature « point régulier »
ou « équilibre ». Dans le cas d’un équilibre, il reste à en préciser la nature selon les
cinq cas cités.
• a équilibre stable : soit V2 un voisinage de ij/(a) dans O2. Comme if/ est continue,
est un voisinage V\ de a dans O ]. Par définition de la stabilité de a : il existe
un voisinage W\ de a tel que :
X e W \
Vr > 0, 0(L x) G V].
Or, 4/~^ est continue (définition d’un homéomorphisme) ; donc, il/{W\) est un voisinage W2 de
Soit y e W2 ‘ Appliquons la relation de conjugaison 02 °
= 0 °
couple
(t, (/'"'({/)): il vient:
(y))]
ip~\y))]
' '------- "
€ V | cari{/~^ (y)eW \
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