Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
T 3
O
c
r3
Q
vû
T—I
O
rsj
X I
CTI
>•
C L
O
U
2 . L a c o n d itio n d e c o n ju g a is o n s ’é c rit
/2[
'- y "
^ - r s in ^ ^
X
r c o s 6
< h
1 J
^ 0 ^
' 0 ^
C e v e c te u r v a u t
1
. 1 >
. D o n c , /2 est con stan t :
6 , z) =
1
l 1 >
3 . L ’e x p r e s s io n d e /2 p e r m e t u n e in té g r a tio n im m é d ia te , q u i f o u rn it le flo t
C h a p i t r e 3
Tout fermé peut être un ensemble des équilibres
Exercice 3.1
1. d{y, X ) = i n f d{y, z) < inf[d(y, x) + d(x, z)] < d{y, x) + i n f d(x, z)
zex
Z€X
zeX
< d{y, x) + d(x, X)
D o n c , d{y, X ) - d (x, X ) < d(x, y). P a r s y m é trie : d(x, X ) - d(y, X ) < d{x, y)
P a r c o n s é q u e n t, \d(x, X ) - d(y, X )| < d(x, y), c e q u i m o n tr e q u e :
JC
d (x , X ) est lip chitzien n e de rapport 1.
2 . S o it E =
e t X u n f e r m é q u e lc o n q u e d e E. S o it u 6 R "* , e t S le s y s tè m e
X = f{x) a v e c f{x) = u .d(x, X ). C e s y s tè m e e s t lip s c h itz ie n d ’a p rè s la q u e s tio n
p r é c é d e n te .
V é q u ilib r e d e S <==> f(x) = 0
d{x, X) = 0 c'dv u
0
4==> X e X ( p r o p r ié té c la s s iq u e d a n s u n e s p a c e m é tr iq u e )
=> x E X c a r X = X ( X f e r m é )
D o n c , X est r en se m b le E des équilibres de S lipschitzien.
3 . S o it a u n p o in t d ’a c c u m u la tio n d e S . A lo r s , il e x is te u n e s u ite
a\, 0 2 , " ■ , On,’" d e p o in ts d e S d is tin c ts d e a c o n v e rg e a n t v e rs a.
F o r m e lle m e n t : V77, 3njj te l q u e n>
^ cin e !B(a, rj).
A lo rs , p o u r to u t t,
ün) = ün c a r On e s t u n é q u ilib r e . C e c i c o n tr e d it l ’a ttr a c
tiv ité d e fl, q u i s ’e x p r im e r a it 3rf te l q u e x G B {a, rj) ^ lim 0 ( r , x) = a.
C e c i m o n tr e q u e a est sim plem ent stable.
t —>oo
236
T 3
O
c
r3
Q
vû
T—I
O
rsj
X I
CTI
>•
C L
O
U
2 . L a c o n d itio n d e c o n ju g a is o n s ’é c rit
/2[
^ - r s in ^ ^
X
r c o s 6
< h
1 J
^ 0 ^
' 0 ^
C e v e c te u r v a u t
1
. 1 >
. D o n c , /2 est con stan t :
6 , z) =
1
l 1 >
3 . L ’e x p r e s s io n d e /2 p e r m e t u n e in té g r a tio n im m é d ia te , q u i f o u rn it le flo t
C h a p i t r e 3
Tout fermé peut être un ensemble des équilibres
Exercice 3.1
1. d{y, X ) = i n f d{y, z) < inf[d(y, x) + d(x, z)] < d{y, x) + i n f d(x, z)
zex
Z€X
zeX
< d{y, x) + d(x, X)
D o n c , d{y, X ) - d (x, X ) < d(x, y). P a r s y m é trie : d(x, X ) - d(y, X ) < d{x, y)
P a r c o n s é q u e n t, \d(x, X ) - d(y, X )| < d(x, y), c e q u i m o n tr e q u e :
JC
d (x , X ) est lip chitzien n e de rapport 1.
2 . S o it E =
e t X u n f e r m é q u e lc o n q u e d e E. S o it u 6 R "* , e t S le s y s tè m e
X = f{x) a v e c f{x) = u .d(x, X ). C e s y s tè m e e s t lip s c h itz ie n d ’a p rè s la q u e s tio n
p r é c é d e n te .
V é q u ilib r e d e S <==> f(x) = 0
d{x, X) = 0 c'dv u
0
4==> X e X ( p r o p r ié té c la s s iq u e d a n s u n e s p a c e m é tr iq u e )
=> x E X c a r X = X ( X f e r m é )
D o n c , X est r en se m b le E des équilibres de S lipschitzien.
3 . S o it a u n p o in t d ’a c c u m u la tio n d e S . A lo r s , il e x is te u n e s u ite
a\, 0 2 , " ■ , On,’" d e p o in ts d e S d is tin c ts d e a c o n v e rg e a n t v e rs a.
F o r m e lle m e n t : V77, 3njj te l q u e n>
^ cin e !B(a, rj).
A lo rs , p o u r to u t t,
ün) = ün c a r On e s t u n é q u ilib r e . C e c i c o n tr e d it l ’a ttr a c
tiv ité d e fl, q u i s ’e x p r im e r a it 3rf te l q u e x G B {a, rj) ^ lim 0 ( r , x) = a.
C e c i m o n tr e q u e a est sim plem ent stable.
t —>oo
236