Chapitre 2
(b ) O n a tr iv ia le m e n t if/ o ijj - id e n tité d e Î 2 i. D o n c , ip e s t u n e b ije c tio n . E lle
e s t c la ir e m e n t c o n tin u e , d o n c a u s s i b ic o n tin u e p u is q u e il/~^ = if/. P a r c o n s é ­
q u e n t, ip est un hom éom orphism e.
1
(c) (j)2\t, ip{x)] = ip{x)e ^ = - e \
J C
P a r a llè le m e n t, ip[(piit, x )] = ip[xe^] =
1
xe'
1
= -é '-'
O n a b ie n 02 o
o 0 | , c e q u i m o n tr e q u e S i et S 2 son t con ju g u és.
4. (a ) L e s r é s u lta ts f o r m e ls d e la q u e s tio n 3 .a ) r e s te n t v a la b le s :
0 i ( / , x ) = X e^ et (p2(t, a:) = xe~^.
X
(b ) V x G O i , (ipo ip){x) = lp[lp(x)] = ip
IWP
2 *
D o n c , ip e s t in v o lu tiv e (ipoip = id e n tité ). C ’e s t u n e b ije c tio n c o n tin u e , d o n c
a u s s i b ic o n tin u e p u is q u e 0 “ ' = 0 . P a r c o n s é q u e n t, 0 est un hom éom orp h ism e.
(c ) 02
0 W 1 =
^ =
P a r a llè le m e n t, 0 [ 0 i 0 , x)] = ip \ x e ] =
x e
X
\xe t\\2
O n a b ie n 02 o 0 = 0 o 0 | , c e q u i m o n tr e q u e S\ et S 2 son t con ju g u és.
T J
o
c
rj
Q
k D
o
r\l
(y)
OJ
>•
Q .
O
U
Remarque
i2i et 0.2 sont connexes pour n > 2 mais possèdent deux composantes connexes pour
n = \ .
Exercice 2.3 Détermination d’un flot conjugué
1. P a r d é fin itio n : V 0 =
i dr
dr
dr j
d x
dy
dz
^ c o s e sin e 0 ^
de de de
siné^
cose
0
d x
dy
dz
r
r
dz
dz
dz
.
0
0
1 .
< d x
dy
dz >
Q
@
235