C h a p i t r e 2
Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
Exercice 2.1 Exponentielle de matrice
L a m a tr ic e J = A + B est te lle q u e f i = / , m a tr ic e u n ité . P a r c o n s é q u e n t
f i
f i
f i
e x p (A + iB) — I
J
— + — + — + • • •
^
2!
3!
4!
-- + --- + • • • + / + — + —
2!
4!
3!
5!
1
1
— + — + • • • / +
,
1
1
2!
4!
[
3!
5!
cosh 1
sinh 1
s o it e x p {A + B) =
^cosh 1 s in h 1
. s in h 1 c o s h 1
J.
T 3
O
c
û
O
rsj
(5)
s z
gi
>Q .
O
U
C o m m e A^ = 0, e x p (A ) s e r é d u it a u x d e u x p r e m ie r s te r m e s d u d é v e lo p p e m e n t, s o it :
exp(v4) = I + A =
.0 1
D e m ê m e , B^ = 0 , d ’o ù exp(iB ) = I + B =
1 0^
1 1)
O n c o n s ta te q u e
e ^ .e ^ et
son t toutes trois distinctes.
Conjugaison centrifuge - centripète
Exercice 2.2
1. i = f { x ) = .T : la f o n c tio n / e s t lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t 1, d o n c a fo r ­
tiori lo c a le m e n t lip s c h itz ie n n e s u r i l i : d o n c , le théorèm e de C au chy-L ipschitz
s'a p p liq u e.
x(t) s ’o b tie n t c la s s iq u e m e n t p a r : x{t) = xq e\ s o lu tio n d é fin ie p o u r to u t t ré e l.
D o n c , Vjco € H i , y (jc o ) = M.
2. T o u te tr a je c to ir e e s t d ’é q u a tio n x{î) = X{)e^. D o n c , Orb(xo) =
; r G R} =
R ^ si vo > 0 , R I si .To < 0. P a r c o n s é q u e n t, S\ a d m e t les dem i-droites E * et E *
com m e seu les orbites.
P o u r 27, il c o n v ie n t d ’a jo u te r u n e 3® o r b ite c o n s titu é e d e V équilibre {0}.
3 . (a ) D e m ê m e q u e x{t) = vq e s t l ’é q u a tio n d e s tr a je c to ir e s d e 5 1, x{t) = xq e~^
e s t l ’é q u a tio n d e s tr a je c to ir e s d e 8 2 ^ O n e n d é d u it l ’e x p re s s io n d e s flo ts :
(¡)\{t, x ) = x e * et (f>2(t, x ) = xe~^.
234