Chapitre 1
Q
@
P a r c o n s é q u e n t Vjc € M, i: = / ( x ) = 1 - c o s [ ^ ( x ) ]
T J
O
c
3
Q
kD
O
rs]
(S)
ai
's_
>.
C L
O
U
A u v o is in a g e d e ^ = 2kn, x - 2kn se c o m p o r te ( f o r m u le d e T a y lo r-Y o u n g )
c o m m e {6 - 2k7iŸ I 6 .
D o n c , a u v o is in a g e d e x = 2kji, 0 - 2kTT se c o m p o r te c o m m e [6 (x - 2k7i)Ÿ^^,
e t X = 1 - c o s ^ c o m m e (6 - 2k n Ÿ I2 , d o n c c o m m e d ( x - 2knŸ^^, o ù À e s t u n e
c o n s ta n te . Il e n r é s u lte q u e la f o n c tio n / ( x ) e s t p a r to u t con tin u e, d e c la s s e C '
h o rs d e 2 ;rZ , m a is n ’e s t pas localem en t lip schitzien n e a u v o is in a g e d e s v a le u rs
2kn.
5 . L e s é q u ilib r e s s o n t d o n n é s p a r x = 0 , s o it x = I k n {k € Z ). T o u te f o n c tio n d u
ty p e s u iv a n t :
A X
Figure 14.4
e s t u n e s o lu tio n ( = tr a je c to ir e ) d u s y s tè m e ; x p e u t s ’a r r ê te r p o u r u n e d u r é e
a r b itr a ir e à u n é q u ilib r e , p u is « r e p a r tir ». Il y a d o n c u n e in fin ité de trajectoires te lle s q u e x (0 ) = 0 , e t to u t é q u ilib r e e s t instable. L a tr a je c to ir e s a n s a rrê ts
a u x é q u ilib r e s e s t x ( /) = t - s m t Q/t e R ).
Il r é s u lte d e c e q u i p r é c è d e q u e to u te o r b ite d e M d a n s le p la n xO y c o r r e s p o n d à
u n n o m b r e e n tie r (o u in fin i) d e to u rs c o m p le ts d e F : e lle e s t la r é u n io n c o n n e x e
d ’a rc s d e cycloïdes. L ’o r b ite m in im a le e s t le p o in t O , l ’o r b ite s a n s a rr ê ts se d é
v e lo p p e à l ’in fin i à g a u c h e e t à d ro ite . D a n s to u s le s c a s , la p la g e te m p o r e lle e s t
/ = R .
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P a r c o n s é q u e n t Vjc € M, i: = / ( x ) = 1 - c o s [ ^ ( x ) ]
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A u v o is in a g e d e ^ = 2kn, x - 2kn se c o m p o r te ( f o r m u le d e T a y lo r-Y o u n g )
c o m m e {6 - 2k7iŸ I 6 .
D o n c , a u v o is in a g e d e x = 2kji, 0 - 2kTT se c o m p o r te c o m m e [6 (x - 2k7i)Ÿ^^,
e t X = 1 - c o s ^ c o m m e (6 - 2k n Ÿ I2 , d o n c c o m m e d ( x - 2knŸ^^, o ù À e s t u n e
c o n s ta n te . Il e n r é s u lte q u e la f o n c tio n / ( x ) e s t p a r to u t con tin u e, d e c la s s e C '
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2kn.
5 . L e s é q u ilib r e s s o n t d o n n é s p a r x = 0 , s o it x = I k n {k € Z ). T o u te f o n c tio n d u
ty p e s u iv a n t :
A X
Figure 14.4
e s t u n e s o lu tio n ( = tr a je c to ir e ) d u s y s tè m e ; x p e u t s ’a r r ê te r p o u r u n e d u r é e
a r b itr a ir e à u n é q u ilib r e , p u is « r e p a r tir ». Il y a d o n c u n e in fin ité de trajectoires te lle s q u e x (0 ) = 0 , e t to u t é q u ilib r e e s t instable. L a tr a je c to ir e s a n s a rrê ts
a u x é q u ilib r e s e s t x ( /) = t - s m t Q/t e R ).
Il r é s u lte d e c e q u i p r é c è d e q u e to u te o r b ite d e M d a n s le p la n xO y c o r r e s p o n d à
u n n o m b r e e n tie r (o u in fin i) d e to u rs c o m p le ts d e F : e lle e s t la r é u n io n c o n n e x e
d ’a rc s d e cycloïdes. L ’o r b ite m in im a le e s t le p o in t O , l ’o r b ite s a n s a rr ê ts se d é
v e lo p p e à l ’in fin i à g a u c h e e t à d ro ite . D a n s to u s le s c a s , la p la g e te m p o r e lle e s t
/ = R .
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