Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
T o u te s c e s s o lu tio n s ( = tr a je c to ir e s ) se c o u p e n t e n {t, x) = (0 , 0 ). L e s c o n d itio n s d u th é o r è m e d e C a u c h y n e so n t p a s satisfaites, c a r f { x ) n ’e s t p a s lo c a le m e n t
lip s c h itz ie n n e .
L ’é q u ilib r e 0 e s t s e m i- s ta b le à temps de séjo u r qu elcon q u e.
Exercice 1.7 L’unicité des trajectoires n’exige pas Lipschitz
"O
O
c
û
Ю
O
rsj
O
C T
>•
C L
O
U
1. / e s t d is c o n tin u e e n 0. C o m m e le c a ra c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n e n tr a în e la
c o n tin u ité :
/ n ’est pas lipschitzien n e su r lE.
2 . D a n s le p la n (r, x), le s tr a je c to ir e s s o n t d e s lig n e s b r is é e s c o n tin u e s d e p e n te
f{ x ) = -1-1 p o u r Ji < 0 , e t d e p e n te f {x ) - +2 p o u r x > 0 ( u n e tr a je c to ir e e s t
d o n c c o n s titu é e d e d e u x d e m i- d r o ite s d e m ê m e o r ig in e ). L e s im p le e x a m e n d e s
tr a je c to ir e s d a n s le p la n (L x ) m o n tr e q u e :
tout ( i , jr) G
appartient à u n e trajectoire u n iq u e d é fin ie p o u r to u t te m p s
r é e l.
Problème 1.2 Quand Lipschitz n’est pas là, les trajectoires dansent
O M =
в - s i n вУ
1 - c o s в\
1. я
. ô î + 7 î + m = ( " ) + ( » ) + :
,«¡1
P a r d é riv a tio n
q2 .
2 . L ’é n e rg ie c in é tiq u e e s t : E c = ^ [ ( 1 ~ c o s 6Ÿ + sin^ 6\ = é ^ ( l - c o s в)
L ’é n e rg ie p o te n tie lle e s t : Ep = -m gy = - y = - ( 1 - c o s ^ ) .
D ’o ù Ec + EP =
- \ )(\ - c o s в) = E c (0 ) -I- Ep(0) = 0. P a r c o n s é q u e n t, в = ±\
p o u r в Ф 2кя.
C o m p te te n u d e l ’e x ig e n c e d e d é p la c e m e n t v e rs la d r o ite , o n a d o n c : в = 1
p o u r в Ф 2 к л : Г r o u le s u r O x à v ite s s e c o n s ta n te .
3 . D e в, o n d é d u it l ’o r d o n n é e d e M d o n c s a v ite s s e ( c a r Ec + Ep = 0); on d i s
p o s e p a r c o n s é q u e n t d ’u n e d e s c r ip tio n c o m p lè te d u s y s tè m e m é c a n iq u e à t. O r,
^
JC = ^ - sin ^ e s t u n e b ije c tio n d e R .
O n p e u t p a r c o n s é q u e n t p r e n d r e in d if f é r e m m e n t в о й x com m e état du système.
4. S i l ’o n a p p e lle (p la b ije c tio n in v e rs e d e la b ije c tio n в
x = в - s'mO, on a
в = (fix).
O r (P® q u e s tio n ), x = в (\ - cos в) = 1 - cos в.
232
T o u te s c e s s o lu tio n s ( = tr a je c to ir e s ) se c o u p e n t e n {t, x) = (0 , 0 ). L e s c o n d itio n s d u th é o r è m e d e C a u c h y n e so n t p a s satisfaites, c a r f { x ) n ’e s t p a s lo c a le m e n t
lip s c h itz ie n n e .
L ’é q u ilib r e 0 e s t s e m i- s ta b le à temps de séjo u r qu elcon q u e.
Exercice 1.7 L’unicité des trajectoires n’exige pas Lipschitz
"O
O
c
û
Ю
O
rsj
O
C T
>•
C L
O
U
1. / e s t d is c o n tin u e e n 0. C o m m e le c a ra c tè r e lo c a le m e n t lip s c h itz ie n e n tr a în e la
c o n tin u ité :
/ n ’est pas lipschitzien n e su r lE.
2 . D a n s le p la n (r, x), le s tr a je c to ir e s s o n t d e s lig n e s b r is é e s c o n tin u e s d e p e n te
f{ x ) = -1-1 p o u r Ji < 0 , e t d e p e n te f {x ) - +2 p o u r x > 0 ( u n e tr a je c to ir e e s t
d o n c c o n s titu é e d e d e u x d e m i- d r o ite s d e m ê m e o r ig in e ). L e s im p le e x a m e n d e s
tr a je c to ir e s d a n s le p la n (L x ) m o n tr e q u e :
tout ( i , jr) G
appartient à u n e trajectoire u n iq u e d é fin ie p o u r to u t te m p s
r é e l.
Problème 1.2 Quand Lipschitz n’est pas là, les trajectoires dansent
O M =
в - s i n вУ
1 - c o s в\
1. я
. ô î + 7 î + m = ( " ) + ( » ) + :
,«¡1
P a r d é riv a tio n
q2 .
2 . L ’é n e rg ie c in é tiq u e e s t : E c = ^ [ ( 1 ~ c o s 6Ÿ + sin^ 6\ = é ^ ( l - c o s в)
L ’é n e rg ie p o te n tie lle e s t : Ep = -m gy = - y = - ( 1 - c o s ^ ) .
D ’o ù Ec + EP =
- \ )(\ - c o s в) = E c (0 ) -I- Ep(0) = 0. P a r c o n s é q u e n t, в = ±\
p o u r в Ф 2кя.
C o m p te te n u d e l ’e x ig e n c e d e d é p la c e m e n t v e rs la d r o ite , o n a d o n c : в = 1
p o u r в Ф 2 к л : Г r o u le s u r O x à v ite s s e c o n s ta n te .
3 . D e в, o n d é d u it l ’o r d o n n é e d e M d o n c s a v ite s s e ( c a r Ec + Ep = 0); on d i s
p o s e p a r c o n s é q u e n t d ’u n e d e s c r ip tio n c o m p lè te d u s y s tè m e m é c a n iq u e à t. O r,
^
JC = ^ - sin ^ e s t u n e b ije c tio n d e R .
O n p e u t p a r c o n s é q u e n t p r e n d r e in d if f é r e m m e n t в о й x com m e état du système.
4. S i l ’o n a p p e lle (p la b ije c tio n in v e rs e d e la b ije c tio n в
x = в - s'mO, on a
в = (fix).
O r (P® q u e s tio n ), x = в (\ - cos в) = 1 - cos в.
232