Chapitre 1
(c) O n p e u t i m a g in e r ( lis te n o n e x h a u s tiv e ) q u e lq u e s a p p lic a tio n s d e c e q u i
p r é c è d e :
- S u r O = ] 1, + o o [, si la f o n c tio n f ( x ) m a jo r e a u d e là de x = a u n e f o n c
tio n d u ty p e
(In x)^ c o r r e s p o n d a n t à u n c a s e x p lo s if, le s y s tè m e e x
p lo s e p o u r to u t xq > a d ’a p rè s la q u e s tio n 1.
- S u r O = ] 1, +cx)[, si la f o n c tio n f ( x ) e s t é q u iv a le n te lo rs q u e Jc ^ oo à
u n e f o n c tio n d u ty p e x^ (In x f , le s d e u x s y s tè m e s s o n t ( p o u r xq a s s e z
g r a n d ) d e m ê m e n a tu r e , e x p lo s iv e o u n o n .
S u r O = R " , o n p e u t é tu d ie r le c o m p o r te m e n t d e la n o r m e ||j c || = p . Il e s t
p a rf o is p o s s ib le d ’o b te n ir u n e in é g a lité d u ty p e p < f ( p ) o u p > / ( p ) , o ù
/ e s t la f o rm e é tu d ié e d a n s c e t e x e rc ic e . O n p e u t d è s lo rs e x p lo ite r le s
r é s u lta ts c o rr e s p o n d a n ts .
■ a
O
c
D
Q
k D
O
rs]
gi
'i—
> ■
C L
O
U
Exercice 1.5 Classe
et Lipschitz
S o it ]a, b[e n u n v o is in a g e d e xq tel q u e [a, b] e Çl; f ' é ta n t c o n tin u e s u r [a, b],
e lle y e s t m a jo r é e .
Il e x is te k tel q u e :
G [a , b], \f'(x)\ < k.
A lo r s , Vxi, X2 e]a, b\, 3 c e]xi, X2f te l q u e / ( .V 2) = / ( jîi) + (X2 - x O / '( c ) ( a c c r o is
s e m e n ts fin is).
D o n c , |/(.V2) - f(xi)\ = \X2 - - ^ 1 |.|/'(c-)l < k.\x2 - X \ I, c e q u i m o n tr e q u e / e s t lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t k s u r ]a, b[.
P a r c o n s é q u e n t, / est loca lem en t lipschitzien n e su r i l .
Exercice 1.6 Des trajectoires sécantes
clx
P o u r JC > 0 : — = 2 V ^ , d ’o ù d( ^fx) = dt ; d o n c , ^ = t - to,
dt
d ’o ù x{t) = (t - t{)Ÿ p o u r />/{)> 0 e t x{t) = 0 s u r [0 , îq].
__
___
P o u r X < 0 : — = 2
d ’o ù d{ ^ / ^ ) - - d t ; d o n c ,
= - t + t\,
dt
d ’o ù x{t) = - { t - t\Ÿ p o u r t < t\ < 0 e t x ( 0 = 0 s u r [ri, 0].
Q
©
D o n c , V t{), t\ te ls q u e t\ < 0 < îq •
x{t) = <
e s t s o lu tio n d u s y s tè m e .
- { t - t\Ÿ p o u r t < t\
0
p o u r t\ < t < to
{t - toŸ p o u r 1 > to
231
(c) O n p e u t i m a g in e r ( lis te n o n e x h a u s tiv e ) q u e lq u e s a p p lic a tio n s d e c e q u i
p r é c è d e :
- S u r O = ] 1, + o o [, si la f o n c tio n f ( x ) m a jo r e a u d e là de x = a u n e f o n c
tio n d u ty p e
(In x)^ c o r r e s p o n d a n t à u n c a s e x p lo s if, le s y s tè m e e x
p lo s e p o u r to u t xq > a d ’a p rè s la q u e s tio n 1.
- S u r O = ] 1, +cx)[, si la f o n c tio n f ( x ) e s t é q u iv a le n te lo rs q u e Jc ^ oo à
u n e f o n c tio n d u ty p e x^ (In x f , le s d e u x s y s tè m e s s o n t ( p o u r xq a s s e z
g r a n d ) d e m ê m e n a tu r e , e x p lo s iv e o u n o n .
S u r O = R " , o n p e u t é tu d ie r le c o m p o r te m e n t d e la n o r m e ||j c || = p . Il e s t
p a rf o is p o s s ib le d ’o b te n ir u n e in é g a lité d u ty p e p < f ( p ) o u p > / ( p ) , o ù
/ e s t la f o rm e é tu d ié e d a n s c e t e x e rc ic e . O n p e u t d è s lo rs e x p lo ite r le s
r é s u lta ts c o rr e s p o n d a n ts .
■ a
O
c
D
Q
k D
O
rs]
gi
'i—
> ■
C L
O
U
Exercice 1.5 Classe
et Lipschitz
S o it ]a, b[e n u n v o is in a g e d e xq tel q u e [a, b] e Çl; f ' é ta n t c o n tin u e s u r [a, b],
e lle y e s t m a jo r é e .
Il e x is te k tel q u e :
G [a , b], \f'(x)\ < k.
A lo r s , Vxi, X2 e]a, b\, 3 c e]xi, X2f te l q u e / ( .V 2) = / ( jîi) + (X2 - x O / '( c ) ( a c c r o is
s e m e n ts fin is).
D o n c , |/(.V2) - f(xi)\ = \X2 - - ^ 1 |.|/'(c-)l < k.\x2 - X \ I, c e q u i m o n tr e q u e / e s t lip s c h itz ie n n e d e r a p p o r t k s u r ]a, b[.
P a r c o n s é q u e n t, / est loca lem en t lipschitzien n e su r i l .
Exercice 1.6 Des trajectoires sécantes
clx
P o u r JC > 0 : — = 2 V ^ , d ’o ù d( ^fx) = dt ; d o n c , ^ = t - to,
dt
d ’o ù x{t) = (t - t{)Ÿ p o u r />/{)> 0 e t x{t) = 0 s u r [0 , îq].
__
___
P o u r X < 0 : — = 2
d ’o ù d{ ^ / ^ ) - - d t ; d o n c ,
= - t + t\,
dt
d ’o ù x{t) = - { t - t\Ÿ p o u r t < t\ < 0 e t x ( 0 = 0 s u r [ri, 0].
Q
©
D o n c , V t{), t\ te ls q u e t\ < 0 < îq •
x{t) = <
e s t s o lu tio n d u s y s tè m e .
- { t - t\Ÿ p o u r t < t\
0
p o u r t\ < t < to
{t - toŸ p o u r 1 > to
231