Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
T D
O
c
3
Q
U D
O
(N
x:
ai
>•
Q .
O
U
2 . L a s o lu tio n x(t) s a tis fa it
1-/3
d x
jc(lnx)^
= dt, c ’e s t- à - d ir e , p o u r ß ^ \ \
~
s ’in té g r e e n (In x )^ ^ = (In x o )^ ^ + (1 - P )t, d ’o ù :
ln(*(0) = [(lnxo)‘-^ + (1
C e tte e x p r e s s io n m o n tr e q u e tf = +oo ( m o r t n o n e x p lo s iv e ) si yS < 1, m a is q u e
tf < +00 ( e x p lo s io n ) siy^ > 1.
d x
P o u r ß = l , l ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n d u s y s tè m e s ’é c r it
V In V
= dt, c ’e s t- à - d ir e
i/[ln (ln jc )] = dt, q u i s ’in té g r e e n : I n ( l n x ) = I n ( ln x o ) + t. E n p r e n a n t d e u x fo is
l ’e x p o n e n tie lle d e s d e u x m e m b r e s , o n o b tie n t x ( t) —
(attention, le fra g
ment e^ est bien dans F exposant). C e tte s o lu tio n e s t d é fin ie p o u r to u t / > 0 , c e
q u i m o n tr e q u e le s y s tè m e n ’e s t p a s e x p lo s if.
E n c o n c lu s io n , p o u r to u t é ta t in itia l vq > 1 :
L e systèm e i: = jr (In x Ÿ explose si et seu lem en t si J3 > 1.
3 . (a ) P o u r X > 1, In
> 0
L > 0. D o n c , p o u r vq g
Orb^(xo) e s t u n
in te r v a lle d u ty p e [ x q , Z? [ ; /? e s t s o it u n é q u ilib r e s o it + 0 0 .
C o m m e le s y s tè m e n e p r é s e n te a u c u n é q u ilib r e d a n s Î2, o n a Z? = -1-0 0 .
D ’o ù OrZ?"*"(jco) = [ x o , + o o [.
(b ) P o u r a > 1, q u e l q u e s o it J3, o n a u r a x >
a u - d e là d ’u n e c e rta in e
v a le u r d e x , n é c e s s a ir e m e n t a tte in te d ’a p rè s le a). C o m m e ^(1 -H a ) > 1, le
s y s tè m e x =
e x p lo s e ( q u e s tio n 1). Il e n e s t d o n c d e m ê m e d u s y s
tè m e X = x^ ( I n x ) ^ c a r p o u r c e s y s tè m e x >
a u - d e là d ’u n e c e r ta in e
v a le u r d e x.
P o u r a = 1, le s y s tè m e e x p lo s e si e t s e u le m e n t
J3 > \ (q u e s tio n 2).
E n fin , p o u r O' < 1, u n r a is o n n e m e n t a n a lo g u e à c e lu i fa it p o u r a > 1
m o n tr e q u e x e s t m a jo r é a u - d e là d ’u n c e r ta in x p a r
a s s o c ié à u n
s y s tè m e n o n e x p lo s if. Il e n r é s u lte q u e x = x ^ ( I n x ) ^ n ’e s t lu i- m ê m e p a s
e x p lo s if.
R é s u m o n s c e s r é s u lta ts :
Sur Î2 =11, + o o [, le Systeme X = x^ (In x )^ , où a et yÔ sont des réels
quelconques, explose si et seulement si :
- soit a > 1 ;
- soit a = 1 etyô > 1.
230
T D
O
c
3
Q
U D
O
(N
x:
ai
>•
Q .
O
U
2 . L a s o lu tio n x(t) s a tis fa it
1-/3
d x
jc(lnx)^
= dt, c ’e s t- à - d ir e , p o u r ß ^ \ \
~
s ’in té g r e e n (In x )^ ^ = (In x o )^ ^ + (1 - P )t, d ’o ù :
ln(*(0) = [(lnxo)‘-^ + (1
C e tte e x p r e s s io n m o n tr e q u e tf = +oo ( m o r t n o n e x p lo s iv e ) si yS < 1, m a is q u e
tf < +00 ( e x p lo s io n ) siy^ > 1.
d x
P o u r ß = l , l ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n d u s y s tè m e s ’é c r it
V In V
= dt, c ’e s t- à - d ir e
i/[ln (ln jc )] = dt, q u i s ’in té g r e e n : I n ( l n x ) = I n ( ln x o ) + t. E n p r e n a n t d e u x fo is
l ’e x p o n e n tie lle d e s d e u x m e m b r e s , o n o b tie n t x ( t) —
(attention, le fra g
ment e^ est bien dans F exposant). C e tte s o lu tio n e s t d é fin ie p o u r to u t / > 0 , c e
q u i m o n tr e q u e le s y s tè m e n ’e s t p a s e x p lo s if.
E n c o n c lu s io n , p o u r to u t é ta t in itia l vq > 1 :
L e systèm e i: = jr (In x Ÿ explose si et seu lem en t si J3 > 1.
3 . (a ) P o u r X > 1, In
> 0
L > 0. D o n c , p o u r vq g
Orb^(xo) e s t u n
in te r v a lle d u ty p e [ x q , Z? [ ; /? e s t s o it u n é q u ilib r e s o it + 0 0 .
C o m m e le s y s tè m e n e p r é s e n te a u c u n é q u ilib r e d a n s Î2, o n a Z? = -1-0 0 .
D ’o ù OrZ?"*"(jco) = [ x o , + o o [.
(b ) P o u r a > 1, q u e l q u e s o it J3, o n a u r a x >
a u - d e là d ’u n e c e rta in e
v a le u r d e x , n é c e s s a ir e m e n t a tte in te d ’a p rè s le a). C o m m e ^(1 -H a ) > 1, le
s y s tè m e x =
e x p lo s e ( q u e s tio n 1). Il e n e s t d o n c d e m ê m e d u s y s
tè m e X = x^ ( I n x ) ^ c a r p o u r c e s y s tè m e x >
a u - d e là d ’u n e c e r ta in e
v a le u r d e x.
P o u r a = 1, le s y s tè m e e x p lo s e si e t s e u le m e n t
J3 > \ (q u e s tio n 2).
E n fin , p o u r O' < 1, u n r a is o n n e m e n t a n a lo g u e à c e lu i fa it p o u r a > 1
m o n tr e q u e x e s t m a jo r é a u - d e là d ’u n c e r ta in x p a r
a s s o c ié à u n
s y s tè m e n o n e x p lo s if. Il e n r é s u lte q u e x = x ^ ( I n x ) ^ n ’e s t lu i- m ê m e p a s
e x p lo s if.
R é s u m o n s c e s r é s u lta ts :
Sur Î2 =11, + o o [, le Systeme X = x^ (In x )^ , où a et yÔ sont des réels
quelconques, explose si et seulement si :
- soit a > 1 ;
- soit a = 1 etyô > 1.
230