Chapitre 1
-O
O
c
Û
K D
tH
O
rM
s z
ai
‘v _
>•
C L
O
U
R appel de la dém onstration : soit f continue de E topologique dans F topologique,
et X c. E connexe. Si f{ X ) n ’est pas connexe, il est réunion disjointe de A et B ou
verts. D ès lors, X est réunion disjointe de f ~ \ A ) et
ouverts, et n ’est donc pas
connexe, ce qui contredit l ’hypothèse. Donc, f ( X ) est connexe.
Un système unidimensionnel a-t-il des orbites
Exercice 1.4
périodiques?
1. P o u r
= M, S o it t
x(t) u n e s o lu tio n p é r io d iq u e n o n triv ia le d e i = f{X), d e
p é r io d e r > 0. L e s e g m e n t d ’o r b ite c o r r e s p o n d a n t à r G [0 , 7 ] e s t u n c o m p a c t
d e R , c o n n e x e d ’a p rè s l ’e x e r c ic e 1.3, d o n c u n s e g m e n t [m , M] tel q u e M > m.
approche : [m, M\ é ta n t « b a la y é » p é r io d iq u e m e n t, a G]m, M [ e s t a tte in t à
a u m o in s u n in s ta n t à v ite s s e x p o s itiv e ( p o u r p a s s e r d e m à M ) e t à a u m o in s
u n in s ta n t à v ite s s e n é g a tiv e ( p o u r p a s s e r d e M à m) c e q u i e s t c o n tr a d ic to ir e
c a r le s d e u x v ite s s e s s o n t é g a le s e t v a le n t f(a). Il n^existe donc pas d ’o r b ite
p é rio d iq u e .
2^ approche : S o it
G [0 , 7 ] te l q u e x{tm) = m. S i / (f^ ) ^ 0» u n d é v e lo p p e
m e n t d e T a y lo r d ’o r d re 1 d e x(t) m o n tr e q u ’a u v o is in a g e d e t,„, x{t) p r e n d d e s
v a le u r s in f é r ie u r e s à m. C e c i é ta n t e x c lu , o n a / ( r ^ ) = 0 . q u i im p liq u e q u e m e s t
u n é q u ilib r e : m a is a lo rs , Orb(m) = [m] c e q u i c o n tr e d it l ’in é g a lité M > m. Il
n ’ existe d on c p as d ’o r b ite p é rio d iq u e .
2. P o u r n = 7^, o n p e u t id e n tif ie r à u n c e rc le . D è s lo rs , le m o u v e m e n t c ir c u la ir e
u n if o r m e à v ite s s e a n g u la ir e c o n s ta n te est un exem ple d e s o lu tio n n o n - tr iv ia le
p é rio d iq u e .
Problème 1.1 Un critère de mort explosive
dix'-")
1 - a
1. (a ) L a s o lu tio n x(t) s a tis fa it x " d x = dt, c ’e s t- à - d ir e
= dt, q u i s ’in
té g r e ( p u is q u e O' ^ 1) e n
^ = x l ^ -i- (1 - a ) r, d ’o ù :
iVii-a)
x ( t) = [ x J “ " + ( ! - « ) < ]
(b ) L ’e x p r e s s io n p r é c é d e n te a u n s e n s p o u r to u t r si o' < L A lo r s , p o u r to u t
xo > 0 , la p la g e te m p o r e lle J(xq) n ’e s t p a r b o r n é e à d r o ite . Si e n r e v a n c h e
O' > 1, a lo r s x{t) te n d v e rs l ’in fin i lo rs q u e l ’e x p r e s s io n e n tre c r o c h e ts te n d
.\-a
b o r n e
Q
@
v e rs 0 , c e q u i d é te r m in e le te m p s d ’e x p lo s io n : I A xq) = --------O' - 1
s u p é r ie u r e d e J{xq).
R em arque : comme pou r a = 1 (système linéaire) on a J ( xq) = R , il résulte de ce qui précèd e cfiie : Vxq e
tf ( x o ) < - i- ^ (mort explosive)
O' > 1. Ainsi, en un certain sens, les systèmes linéaires (a = 1) sont
« à la limite de l ’explosion ».
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et X c. E connexe. Si f{ X ) n ’est pas connexe, il est réunion disjointe de A et B ou
verts. D ès lors, X est réunion disjointe de f ~ \ A ) et
ouverts, et n ’est donc pas
connexe, ce qui contredit l ’hypothèse. Donc, f ( X ) est connexe.
Un système unidimensionnel a-t-il des orbites
Exercice 1.4
périodiques?
1. P o u r
= M, S o it t
x(t) u n e s o lu tio n p é r io d iq u e n o n triv ia le d e i = f{X), d e
p é r io d e r > 0. L e s e g m e n t d ’o r b ite c o r r e s p o n d a n t à r G [0 , 7 ] e s t u n c o m p a c t
d e R , c o n n e x e d ’a p rè s l ’e x e r c ic e 1.3, d o n c u n s e g m e n t [m , M] tel q u e M > m.
approche : [m, M\ é ta n t « b a la y é » p é r io d iq u e m e n t, a G]m, M [ e s t a tte in t à
a u m o in s u n in s ta n t à v ite s s e x p o s itiv e ( p o u r p a s s e r d e m à M ) e t à a u m o in s
u n in s ta n t à v ite s s e n é g a tiv e ( p o u r p a s s e r d e M à m) c e q u i e s t c o n tr a d ic to ir e
c a r le s d e u x v ite s s e s s o n t é g a le s e t v a le n t f(a). Il n^existe donc pas d ’o r b ite
p é rio d iq u e .
2^ approche : S o it
G [0 , 7 ] te l q u e x{tm) = m. S i / (f^ ) ^ 0» u n d é v e lo p p e
m e n t d e T a y lo r d ’o r d re 1 d e x(t) m o n tr e q u ’a u v o is in a g e d e t,„, x{t) p r e n d d e s
v a le u r s in f é r ie u r e s à m. C e c i é ta n t e x c lu , o n a / ( r ^ ) = 0 . q u i im p liq u e q u e m e s t
u n é q u ilib r e : m a is a lo rs , Orb(m) = [m] c e q u i c o n tr e d it l ’in é g a lité M > m. Il
n ’ existe d on c p as d ’o r b ite p é rio d iq u e .
2. P o u r n = 7^, o n p e u t id e n tif ie r à u n c e rc le . D è s lo rs , le m o u v e m e n t c ir c u la ir e
u n if o r m e à v ite s s e a n g u la ir e c o n s ta n te est un exem ple d e s o lu tio n n o n - tr iv ia le
p é rio d iq u e .
Problème 1.1 Un critère de mort explosive
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1 - a
1. (a ) L a s o lu tio n x(t) s a tis fa it x " d x = dt, c ’e s t- à - d ir e
= dt, q u i s ’in
té g r e ( p u is q u e O' ^ 1) e n
^ = x l ^ -i- (1 - a ) r, d ’o ù :
iVii-a)
x ( t) = [ x J “ " + ( ! - « ) < ]
(b ) L ’e x p r e s s io n p r é c é d e n te a u n s e n s p o u r to u t r si o' < L A lo r s , p o u r to u t
xo > 0 , la p la g e te m p o r e lle J(xq) n ’e s t p a r b o r n é e à d r o ite . Si e n r e v a n c h e
O' > 1, a lo r s x{t) te n d v e rs l ’in fin i lo rs q u e l ’e x p r e s s io n e n tre c r o c h e ts te n d
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R em arque : comme pou r a = 1 (système linéaire) on a J ( xq) = R , il résulte de ce qui précèd e cfiie : Vxq e
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O' > 1. Ainsi, en un certain sens, les systèmes linéaires (a = 1) sont
« à la limite de l ’explosion ».
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