Chapitre 14 • Corrigés des exercices et problèmes
Exercice 1.2 Des portraits de phases
1. É q u a tio n lo g is tiq u e : le s p o in ts 0 e t 1 d iv is e n t R e n 3 in te r v a lle s . L a d é riv é e x
e s t n é g a tiv e p o u r x < 0 , p o s itiv e s u r ]0 , 1[, n é g a tiv e p o u r x > 1. Il y a d e u x
é q u ilib r e s : 0 e s t in s ta b le , 1 e s t a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le , n o tio n s d é fin ie s a u
c h a p itr e 3.
1
2 . L e s 5 é q u ilib r e s d é lim ite n t 6 in te r v a lle s : s u r R*_, x e s t n é g a tif p u is c h a n g e
d e s ig n e a u f r a n c h is s e m e n t d e c h a q u e é q u ilib r e . L e s é q u ilib r e s 0 , 2 e t 4 s o n t
in s ta b le s , 1 e t 3 s o n t a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le s .
1
•O
O
c
û
U D
O
(N
O
ai
>Q.
O
U
3 . (a ) 0 e s t l ’é q u ilib r e ( a s y m p t. s ta b le ) u n iq u e : le s o r b ite s s o n t p a r a b o liq u e s
( d e m i- p a r a b o le s d ’a x e Oy, fig u re 1 4 .1 .a, c o m m e l ’a tte s te la ré s o lu tio n a n a
ly tiq u e ;
(b ) 0 e s t l ’é q u ilib r e ( in s ta b le ) u n iq u e : le s o r b ite s s o n t h y p e r b o liq u e s ( d e m ih y p e r b o le s d ’a s y m p to te s O x e t Oy, fig u re 1 4 .1 .b.
a)
b)
Figure 14.1
4 . • P = 1 e s t u n e o r b ite e t u n c y c le - lim ite , n o tio n d é fin ie a u § 7 .2 .2 .
• D a n s le d is q u e p < 1 : le s tr a je c to ir e s s o n t d e s s p ir a le s s ’é lo ig n a n t d e 0 ( é q u ilib r e in s ta b le ) p o u r s e r a p p r o c h e r d u c y c le -lim ite .
• H o r s d u d is q u e , c e s o n t d e s s p ir a le s s e r a p p r o c h a n t d u c y c le lim ite .
L e p o r tr a it d e p h a s e s e s t c e lu i d e la fig u re 7.1 .b.
Exercice 1.3 Toute orbite est connexe
S o it a G i l . L a c o n n e x ité d e Orb(a) se déduit im m édiatem ent d u fa it q u e le flo t
t G J {à) 1 -^ 0 ( r , a) e s t c o n tin u e t q u e l ’im a g e c o n tin u e d ’u n e n s e m b le c o n n e x e (ic i :
p la g e te m p o r e lle J{a)) e s t c o n n e x e .
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Exercice 1.2 Des portraits de phases
1. É q u a tio n lo g is tiq u e : le s p o in ts 0 e t 1 d iv is e n t R e n 3 in te r v a lle s . L a d é riv é e x
e s t n é g a tiv e p o u r x < 0 , p o s itiv e s u r ]0 , 1[, n é g a tiv e p o u r x > 1. Il y a d e u x
é q u ilib r e s : 0 e s t in s ta b le , 1 e s t a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le , n o tio n s d é fin ie s a u
c h a p itr e 3.
1
2 . L e s 5 é q u ilib r e s d é lim ite n t 6 in te r v a lle s : s u r R*_, x e s t n é g a tif p u is c h a n g e
d e s ig n e a u f r a n c h is s e m e n t d e c h a q u e é q u ilib r e . L e s é q u ilib r e s 0 , 2 e t 4 s o n t
in s ta b le s , 1 e t 3 s o n t a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le s .
1
•O
O
c
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U D
O
(N
O
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>Q.
O
U
3 . (a ) 0 e s t l ’é q u ilib r e ( a s y m p t. s ta b le ) u n iq u e : le s o r b ite s s o n t p a r a b o liq u e s
( d e m i- p a r a b o le s d ’a x e Oy, fig u re 1 4 .1 .a, c o m m e l ’a tte s te la ré s o lu tio n a n a
ly tiq u e ;
(b ) 0 e s t l ’é q u ilib r e ( in s ta b le ) u n iq u e : le s o r b ite s s o n t h y p e r b o liq u e s ( d e m ih y p e r b o le s d ’a s y m p to te s O x e t Oy, fig u re 1 4 .1 .b.
a)
b)
Figure 14.1
4 . • P = 1 e s t u n e o r b ite e t u n c y c le - lim ite , n o tio n d é fin ie a u § 7 .2 .2 .
• D a n s le d is q u e p < 1 : le s tr a je c to ir e s s o n t d e s s p ir a le s s ’é lo ig n a n t d e 0 ( é q u ilib r e in s ta b le ) p o u r s e r a p p r o c h e r d u c y c le -lim ite .
• H o r s d u d is q u e , c e s o n t d e s s p ir a le s s e r a p p r o c h a n t d u c y c le lim ite .
L e p o r tr a it d e p h a s e s e s t c e lu i d e la fig u re 7.1 .b.
Exercice 1.3 Toute orbite est connexe
S o it a G i l . L a c o n n e x ité d e Orb(a) se déduit im m édiatem ent d u fa it q u e le flo t
t G J {à) 1 -^ 0 ( r , a) e s t c o n tin u e t q u e l ’im a g e c o n tin u e d ’u n e n s e m b le c o n n e x e (ic i :
p la g e te m p o r e lle J{a)) e s t c o n n e x e .
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