T J
O
c
rj
û
« J D
tH
O
CM
(y)
xz
OJ
>Q.
O
U
Chapitre 13 • Annexes
Il r e s te to u te f o is i n té r e s s a n t d e s ig n a le r le s méthodes de Runge-Kutta q u i o ffre n t
le d o u b le a v a n ta g e d ’ê tr e p e r f o r m a n te s e t f a c ile s à im p la n te r. C e s m é th o d e s s ’a p
p liq u e n t à u n é ta t v e c to r ie l .x G
• L a m é th o d e R un ge-K utta d^ordre 1 u tilis e le s c h é m a d ’E u le r p r é c é d e m m e n t d é c rit.
L ’e r r e u r e s t d e l ’o r d re d e h^.
• L a m é th o d e R unge-K utta d^ordre 2 u tilis e u n e e s tim a tio n d e la d é riv é e a u m ilie u
d u p a s d ’in té g r a tio n : c o m m e l ’é ta t à m i- c h e m in e n tr e le p a s n e t le p a s (n + \) e s t
+ ^f(Xn) , q u i
e s tim é ( E u le r ) p a r
^ / ( . „ ) , o n a le s c h é m a
= . „ + / * /
s ’é c r it e n c o re , d a n s l ’o r d r e d e s c a lc u ls :
kl = f(xn)
kl = f(xn + h k]/2)
p u is : Xn+\ = Xn + h k 2
L e c a lc u l c o n fir m e le b ie n f o n d é d e l ’in tu itio n in itia le e n m o n tr a n t q u e l ’e r r e u r e s t
r a m e n é e à l ’o r d r e d e h^.
• L a m é th o d e R un ge-K utta d^ordre 4 e x p lo ite la m ê m e id é e q u e la p r é c é d e n te , m a is
e n p o u s s a n t p lu s lo in la lo g iq u e ité r a tiv e d e s a p p r o x im a tio n s . E lle c o n d u it a u s c h é m a
( to u jo u rs d a n s l ’o r d re d e s c a lc u ls ) :
k\ = f{xn)
kl = f{xn + h kil2)
k3 = f(Xn + h k2l2)
kA = f(Xn + h k3)
h
p u is : Xn+\ = Xn + - { k \ + 2k2 + 2k^ + k^)
O
L ’e r r e u r e s t d e l ’o r d r e d e
.
226
O
c
rj
û
« J D
tH
O
CM
(y)
xz
OJ
>Q.
O
U
Chapitre 13 • Annexes
Il r e s te to u te f o is i n té r e s s a n t d e s ig n a le r le s méthodes de Runge-Kutta q u i o ffre n t
le d o u b le a v a n ta g e d ’ê tr e p e r f o r m a n te s e t f a c ile s à im p la n te r. C e s m é th o d e s s ’a p
p liq u e n t à u n é ta t v e c to r ie l .x G
• L a m é th o d e R un ge-K utta d^ordre 1 u tilis e le s c h é m a d ’E u le r p r é c é d e m m e n t d é c rit.
L ’e r r e u r e s t d e l ’o r d re d e h^.
• L a m é th o d e R unge-K utta d^ordre 2 u tilis e u n e e s tim a tio n d e la d é riv é e a u m ilie u
d u p a s d ’in té g r a tio n : c o m m e l ’é ta t à m i- c h e m in e n tr e le p a s n e t le p a s (n + \) e s t
+ ^f(Xn) , q u i
e s tim é ( E u le r ) p a r
^ / ( . „ ) , o n a le s c h é m a
= . „ + / * /
s ’é c r it e n c o re , d a n s l ’o r d r e d e s c a lc u ls :
kl = f(xn)
kl = f(xn + h k]/2)
p u is : Xn+\ = Xn + h k 2
L e c a lc u l c o n fir m e le b ie n f o n d é d e l ’in tu itio n in itia le e n m o n tr a n t q u e l ’e r r e u r e s t
r a m e n é e à l ’o r d r e d e h^.
• L a m é th o d e R un ge-K utta d^ordre 4 e x p lo ite la m ê m e id é e q u e la p r é c é d e n te , m a is
e n p o u s s a n t p lu s lo in la lo g iq u e ité r a tiv e d e s a p p r o x im a tio n s . E lle c o n d u it a u s c h é m a
( to u jo u rs d a n s l ’o r d re d e s c a lc u ls ) :
k\ = f{xn)
kl = f{xn + h kil2)
k3 = f(Xn + h k2l2)
kA = f(Xn + h k3)
h
p u is : Xn+\ = Xn + - { k \ + 2k2 + 2k^ + k^)
O
L ’e r r e u r e s t d e l ’o r d r e d e
.
226