Annexe 7 : Schémas numériques
A n n e x e 7 : S c h é m a s n u m é r i q u e s
P o u r o b te n ir à l ’a id e d ’u n lo g ic ie l d e s s o lu tio n s n u m é r iq u e s d e l ’é q u a tio n x = f(x ),
il e s t n é c e s s a ir e d e tr a n s f o r m e r c e tte é q u a tio n d iff é re n tie lle e n u n e é q u a tio n a u x d if
f é r e n c e s fin ie s. C e c i s u p p o s e q u e l ’o n a p p r o c h e le s d é riv é e s p a r d e s q u o tie n ts c o n v e
n a b le s , e t q u e l ’o n c h o is is s e u n p a s d e d is c r é tis a tio n te m p o r e lle . C e d e r n ie r p e u t o u
n o n ê tr e ré g u lie r. U n e te lle d é m a r c h e s ’a p p e lle u n e m é th o d e d e s différences finies,
e t le ty p e c o r r e s p o n d a n t d e f o r m u la tio n u n schéma numérique.
■a
O
c
D
Q
Ю
O
rs]
ai
>C L
O
U
Q
©
Exemple
Considérons l’équation différentielle ordinaire x(t) = Ax(r), avec x e R et /1 c R, à
résoudre pour t e [0, 1] avec la condition initiale 40) = xq. Nous choisissons un
pas de discrétisation h du temps; nous nous plaçons donc aux instants kh avec
k eN. L’état peut alors être noté
= x(kh), ce qui transforme le problème initial
à temps continu en un problème à temps discret. Parmi les schémas numériques
envisageables, donnons les plus simples :
• Le schéma d’Euler explicite consiste à approcher la dérivée x(kh) par :
x[(k + \) h] - x[kh]
---- , d ou —
- Xk = À Xk,
h
’ ' " ■
h
ce qui fournit l’équation
x/;+i = (1 + Ah)Xk.
On a un système à temps discret d’ordre 1 et dimension 1.
Dans le schéma de Crank Nicholson symétrique suivant, on approche la dérivée x{kli) par :
x[{k -I- 1 ) /?] - x[(k - 1 ) /?]
2 /7
, d ou --------- =Axk,
2h
ce qui fournit l’équation Xk+ \ - 2Ahxk~Xk-\ = 0 : on a un système à temps discret
d’ordre 2 et dimension 1. On le transforme en un système d’ordre 1 et dimension 2 en prenant za : = |
j, d’où Zk+ \ =
q
initialisation par deux valeurs consécutives de x.
Zk- La résolution suppose une
Mise en œuvre
L a m is e e n œ u v r e d ’u n s c h é m a n u m é r iq u e s e ra e ff e c tu é e d a n s la g r a n d e m a jo r ité
d e s c a s p a r u n lo g ic ie l d é jà e x is ta n t. Q u ’il s ’a g is s e d e lo g ic ie ls lib r e s o u a c c e s s ib le s
p a r le s r é s e a u x c o m m e r c ia u x h a b itu e ls , il e n e x is te u n e la rg e g a m m e d é v o lu e à la
r é s o lu tio n d e s p r o b lè m e s c la s s iq u e s :
- é q u a tio n s d if f é r e n tie lle s o r d in a ir e s , à v a ria b le s c a la ir e o u v e c to r ie lle ;
- é q u a tio n s a u x d é riv é e s p a rtie lle s .
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A n n e x e 7 : S c h é m a s n u m é r i q u e s
P o u r o b te n ir à l ’a id e d ’u n lo g ic ie l d e s s o lu tio n s n u m é r iq u e s d e l ’é q u a tio n x = f(x ),
il e s t n é c e s s a ir e d e tr a n s f o r m e r c e tte é q u a tio n d iff é re n tie lle e n u n e é q u a tio n a u x d if
f é r e n c e s fin ie s. C e c i s u p p o s e q u e l ’o n a p p r o c h e le s d é riv é e s p a r d e s q u o tie n ts c o n v e
n a b le s , e t q u e l ’o n c h o is is s e u n p a s d e d is c r é tis a tio n te m p o r e lle . C e d e r n ie r p e u t o u
n o n ê tr e ré g u lie r. U n e te lle d é m a r c h e s ’a p p e lle u n e m é th o d e d e s différences finies,
e t le ty p e c o r r e s p o n d a n t d e f o r m u la tio n u n schéma numérique.
■a
O
c
D
Q
Ю
O
rs]
ai
>C L
O
U
Q
©
Exemple
Considérons l’équation différentielle ordinaire x(t) = Ax(r), avec x e R et /1 c R, à
résoudre pour t e [0, 1] avec la condition initiale 40) = xq. Nous choisissons un
pas de discrétisation h du temps; nous nous plaçons donc aux instants kh avec
k eN. L’état peut alors être noté
= x(kh), ce qui transforme le problème initial
à temps continu en un problème à temps discret. Parmi les schémas numériques
envisageables, donnons les plus simples :
• Le schéma d’Euler explicite consiste à approcher la dérivée x(kh) par :
x[(k + \) h] - x[kh]
---- , d ou —
- Xk = À Xk,
h
’ ' " ■
h
ce qui fournit l’équation
x/;+i = (1 + Ah)Xk.
On a un système à temps discret d’ordre 1 et dimension 1.
Dans le schéma de Crank Nicholson symétrique suivant, on approche la dérivée x{kli) par :
x[{k -I- 1 ) /?] - x[(k - 1 ) /?]
2 /7
, d ou --------- =Axk,
2h
ce qui fournit l’équation Xk+ \ - 2Ahxk~Xk-\ = 0 : on a un système à temps discret
d’ordre 2 et dimension 1. On le transforme en un système d’ordre 1 et dimension 2 en prenant za : = |
j, d’où Zk+ \ =
q
initialisation par deux valeurs consécutives de x.
Zk- La résolution suppose une
Mise en œuvre
L a m is e e n œ u v r e d ’u n s c h é m a n u m é r iq u e s e ra e ff e c tu é e d a n s la g r a n d e m a jo r ité
d e s c a s p a r u n lo g ic ie l d é jà e x is ta n t. Q u ’il s ’a g is s e d e lo g ic ie ls lib r e s o u a c c e s s ib le s
p a r le s r é s e a u x c o m m e r c ia u x h a b itu e ls , il e n e x is te u n e la rg e g a m m e d é v o lu e à la
r é s o lu tio n d e s p r o b lè m e s c la s s iq u e s :
- é q u a tio n s d if f é r e n tie lle s o r d in a ir e s , à v a ria b le s c a la ir e o u v e c to r ie lle ;
- é q u a tio n s a u x d é riv é e s p a rtie lle s .
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