Annexe 6 : Fractales
K n e p ossèd e p a s de p o in t iso lé : e n d ’a u tr e s te r m e s , to u t p o in t d e K e s t u n p o in t
d ’a c c u m u la tio n .
E n e ffe t, si X = 0 , a\ 0 2 0 ^,' • • e K , la s u ite Xn = 0, a i (32 <33 • • •, On- \ , a,^, 0 , 0 , 0,...
e s t u n e s u ite d e p o in ts d e K c o n v e r g e a n t v e rs x.
K est de d im ension n on entière : si o n d iv is e [0 , 1] e n m = Ÿ s e g m e n ts , le r e c o u v r e
m e n t d e K e x ig e , to u t c o m m e
N{m) = 2^ d ’e n tr e e u x .
In N{m)
k\w2
In 2
In m
/: In 3
In 3
= , c e c i p o u r to u t k .
D o n c , la d im e n s io n f r a c ta le d e K e s t Ô{K) = In 2 / In 3.
O n p o u r r a relire l ’in term è d e « le c a n to r au sec o u rs d e C a n to r » au § 1 1 .3 .3
r
Exercice 13.3 Dimension fractale du segment rationnel
S o it Q o = Q n [0 , 1] le s e g m e n t u n ité r a tio n n e l.
1. C a lc u le r la m e s u r e d e L e b e s g u e m (Q o ) e t la d im e n s io n f r a c ta le ^ (Q o ).
2 . Q u e lle s o b s e r v a tio n s in s p ir e la c o m p a r a is o n d e la q u e s tio n p r é c é d e n te a v e c le
c a s d e l ’e n s e m b le tr ia d iq u e d e C a n t o r ?
T J
O
c
rj
Q
U D
1 — 1
O
CM
(S)
ai
'1 ^
>C L
O
U
Problème 13.1 Dimensions de trois fractales classiques
m
Q
©
Figure 1 3.3-Trois fractales.
1. Triangle de Sierpinski (1915) : u n tr ia n g le é q u ila té r a l e s t c o m p o s é d e 4 tr ia n g le s é g a u x (fig u re d e g a u c h e ) . O n ô te le tr ia n g le c e n tr a l o u v e rt : il r e s te d o n c
tro is tr ia n g le s é q u ila té r a u x s u r le s q u e ls o n r é p è te l ’e n lè v e m e n t d u tria n g le c e n
tra l. O n r é itè r e l ’o p é r a tio n in d é f in im e n t.
O n o b tie n t a in s i u n c o m p a c t T q u ’o n a p p e lle tr ia n g le d e S ie rp in s k i.
C a lc u le r la d im e n s io n f r a c ta le ô(T) d e T.
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K n e p ossèd e p a s de p o in t iso lé : e n d ’a u tr e s te r m e s , to u t p o in t d e K e s t u n p o in t
d ’a c c u m u la tio n .
E n e ffe t, si X = 0 , a\ 0 2 0 ^,' • • e K , la s u ite Xn = 0, a i (32 <33 • • •, On- \ , a,^, 0 , 0 , 0,...
e s t u n e s u ite d e p o in ts d e K c o n v e r g e a n t v e rs x.
K est de d im ension n on entière : si o n d iv is e [0 , 1] e n m = Ÿ s e g m e n ts , le r e c o u v r e
m e n t d e K e x ig e , to u t c o m m e
N{m) = 2^ d ’e n tr e e u x .
In N{m)
k\w2
In 2
In m
/: In 3
In 3
= , c e c i p o u r to u t k .
D o n c , la d im e n s io n f r a c ta le d e K e s t Ô{K) = In 2 / In 3.
O n p o u r r a relire l ’in term è d e « le c a n to r au sec o u rs d e C a n to r » au § 1 1 .3 .3
r
Exercice 13.3 Dimension fractale du segment rationnel
S o it Q o = Q n [0 , 1] le s e g m e n t u n ité r a tio n n e l.
1. C a lc u le r la m e s u r e d e L e b e s g u e m (Q o ) e t la d im e n s io n f r a c ta le ^ (Q o ).
2 . Q u e lle s o b s e r v a tio n s in s p ir e la c o m p a r a is o n d e la q u e s tio n p r é c é d e n te a v e c le
c a s d e l ’e n s e m b le tr ia d iq u e d e C a n t o r ?
T J
O
c
rj
Q
U D
1 — 1
O
CM
(S)
ai
'1 ^
>C L
O
U
Problème 13.1 Dimensions de trois fractales classiques
m
Q
©
Figure 1 3.3-Trois fractales.
1. Triangle de Sierpinski (1915) : u n tr ia n g le é q u ila té r a l e s t c o m p o s é d e 4 tr ia n g le s é g a u x (fig u re d e g a u c h e ) . O n ô te le tr ia n g le c e n tr a l o u v e rt : il r e s te d o n c
tro is tr ia n g le s é q u ila té r a u x s u r le s q u e ls o n r é p è te l ’e n lè v e m e n t d u tria n g le c e n
tra l. O n r é itè r e l ’o p é r a tio n in d é f in im e n t.
O n o b tie n t a in s i u n c o m p a c t T q u ’o n a p p e lle tr ia n g le d e S ie rp in s k i.
C a lc u le r la d im e n s io n f r a c ta le ô(T) d e T.
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