Chapitre 13 • Annexes
■ a
O
c
=3
Q
t H
O
(N
x :
03
>•
Q .
O
U
• K 2 s ’o b tie n t ô ta n t à K i le s n o m b re s p o u r le s q u e ls «2 e s t u n iq u e e t v a u t 1.
O n n e r e tire d o n c ni 1/9 = 0 ,0 1 0 0 0 • • • = 0 ,0 0 2 2 2 • • •,
ni 2 /9 = 0 ,0 1 2 2 2 • • • = 0 ,0 2 0 0 0 • • • , n i 7 /9 , n i 8 /9 , d o n t le û2 n ’e s t p a s u n iq u e .
• P lu s g é n é r a le m e n t, K, s ’o b tie n t ô ta n t à K/-i le s n o m b r e s p o u r le s q u e ls a,- e s t u n iq u e
e t v a u t 1.
E n c o n c lu s io n , Ki n e c o m p r e n d q u e d e s n o m b r e s .v p o u r le s q u e ls a u c u n d e s i c h iffre s
a\, ü2, . . . , ai n ’e s t é g a l à 1 d a n s le (o u l ’u n d e s d e u x ) d é v e lo p p e m e n t( s ) d e x.
K , q u i e s t l ’in te r s e c tio n d e s Ki, n e c o n tie n t d o n c q u e d e s n o m b r e s d o n t u n e é c ritu r e
te r n a ir e n e p r é s e n te a u c u n « 1 ».
R é c ip r o q u e m e n t, u n n o m b r e d o n t u n e é c r itu r e n e p r é s e n te a u c u n « 1 » n e fa it
l ’o b je t d ’a u c u n d e s r e tr a its d é c r its c i- d e s s u s : il a p p a r tie n t d o n c à Ki p o u r to u t /, d o n c
à le u r in te r s e c tio n K .
E n r é s u m é ; K est V en sem ble des réels de [0, 1] d ont u n e écriture ternaire n e
con tien t a u cu n « 1 ».
Propriétés de K
K est com pact : e n e ffe t, c ’e s t u n e p a rtie f e r m é e ( c a r K e s t p a r d é fin itio n u n e in te r
s e c tio n d e f e r m é s , d o n c u n f e r m é ) e t b o r n é e d e R .
K est de m esure n u lle : c a r K e s t in c lu s d a n s Ki q u e l q u e s o it i.
O r, la m e s u r e d e L e b e s g u e d e AT/ e s t ( 2 /3 ) '. D o n c , m (K ) < i n f ( 2 /3 ) ', s o it m (K ) < 0.
/eM
D ’o ù m {K) = 0.
K est dH ntérieur vide : c ’e s t v ra i d e to u t e n s e m b le d e m e s u r e n u lle . C a r si l ’in té r ie u r
O
A d e A e s t n o n - v id e , il c o n tie n t u n é lé m e n t a d o n t il e s t u n v o is in a g e . Il c o n tie n t d o n c
O
u n in te r v a lle o u v e r t c o n te n a n t a. L a m e s u r e d e A v a u t a u m o in s c e lle , n o n - n u lle d e
l ’in te r v a lle , e t il e n e s t d e m ê m e p o u r A . D o n c , m{A) = 0 ^ A = (j).
K n* est pas dénom brable : d ’a p rè s c e q u i p r é c è d e , to u t é lé m e n t x d t K 2i u n e é c r itu r e
te r n a ir e x = 0 , « i « 2^3 " ‘
V /, a / = 0 o u 2. A s s o c io n s à x le r é e l d e [0 , 1]
d ’é c r itu r e binaire 0 ,
62 ¿>3 • • • a v e c bi = a d l : c e tte a p p lic a tio n d e K d a n s [0 , 1]
é ta n t s u rje c tiv e , Card(AT) > C a r d ( [ 0 , 1]).
M a is ^ c [0 , 1] ^ Card(AT) < C a r d ( [ 0 , 1]). D ’o ù Card(K ) = C a r d ( [ 0 , 1]) =
C a r d ( R ) .
K n ’e s t d o n c p a s d é n o m b r a b le .
O n o b tie n t a in s i u n e x e m p le d ’e n s e m b le n o n - d é n o m b r a b le d e m e s u r e n u lle .
K p ossèd e la propriété d*auto-sim ilitude : K e s t l ’h o m o lo g u e d e s a p a rtie K Pi [0 , 1/3]
d a n s l ’h o m o th é tie d e c e n tr e 0 e t d e r a p p o r t 3. P lu s g é n é r a le m e n t, c ’e s t l ’h o m o lo g u e
d e A" n [0 , 1 /3 ''] d a n s l ’h o m o th é tie d e c e n tr e 0 e t d e r a p p o r t 3 ".
222
■ a
O
c
=3
Q
t H
O
(N
x :
03
>•
Q .
O
U
• K 2 s ’o b tie n t ô ta n t à K i le s n o m b re s p o u r le s q u e ls «2 e s t u n iq u e e t v a u t 1.
O n n e r e tire d o n c ni 1/9 = 0 ,0 1 0 0 0 • • • = 0 ,0 0 2 2 2 • • •,
ni 2 /9 = 0 ,0 1 2 2 2 • • • = 0 ,0 2 0 0 0 • • • , n i 7 /9 , n i 8 /9 , d o n t le û2 n ’e s t p a s u n iq u e .
• P lu s g é n é r a le m e n t, K, s ’o b tie n t ô ta n t à K/-i le s n o m b r e s p o u r le s q u e ls a,- e s t u n iq u e
e t v a u t 1.
E n c o n c lu s io n , Ki n e c o m p r e n d q u e d e s n o m b r e s .v p o u r le s q u e ls a u c u n d e s i c h iffre s
a\, ü2, . . . , ai n ’e s t é g a l à 1 d a n s le (o u l ’u n d e s d e u x ) d é v e lo p p e m e n t( s ) d e x.
K , q u i e s t l ’in te r s e c tio n d e s Ki, n e c o n tie n t d o n c q u e d e s n o m b r e s d o n t u n e é c ritu r e
te r n a ir e n e p r é s e n te a u c u n « 1 ».
R é c ip r o q u e m e n t, u n n o m b r e d o n t u n e é c r itu r e n e p r é s e n te a u c u n « 1 » n e fa it
l ’o b je t d ’a u c u n d e s r e tr a its d é c r its c i- d e s s u s : il a p p a r tie n t d o n c à Ki p o u r to u t /, d o n c
à le u r in te r s e c tio n K .
E n r é s u m é ; K est V en sem ble des réels de [0, 1] d ont u n e écriture ternaire n e
con tien t a u cu n « 1 ».
Propriétés de K
K est com pact : e n e ffe t, c ’e s t u n e p a rtie f e r m é e ( c a r K e s t p a r d é fin itio n u n e in te r
s e c tio n d e f e r m é s , d o n c u n f e r m é ) e t b o r n é e d e R .
K est de m esure n u lle : c a r K e s t in c lu s d a n s Ki q u e l q u e s o it i.
O r, la m e s u r e d e L e b e s g u e d e AT/ e s t ( 2 /3 ) '. D o n c , m (K ) < i n f ( 2 /3 ) ', s o it m (K ) < 0.
/eM
D ’o ù m {K) = 0.
K est dH ntérieur vide : c ’e s t v ra i d e to u t e n s e m b le d e m e s u r e n u lle . C a r si l ’in té r ie u r
O
A d e A e s t n o n - v id e , il c o n tie n t u n é lé m e n t a d o n t il e s t u n v o is in a g e . Il c o n tie n t d o n c
O
u n in te r v a lle o u v e r t c o n te n a n t a. L a m e s u r e d e A v a u t a u m o in s c e lle , n o n - n u lle d e
l ’in te r v a lle , e t il e n e s t d e m ê m e p o u r A . D o n c , m{A) = 0 ^ A = (j).
K n* est pas dénom brable : d ’a p rè s c e q u i p r é c è d e , to u t é lé m e n t x d t K 2i u n e é c r itu r e
te r n a ir e x = 0 , « i « 2^3 " ‘
V /, a / = 0 o u 2. A s s o c io n s à x le r é e l d e [0 , 1]
d ’é c r itu r e binaire 0 ,
62 ¿>3 • • • a v e c bi = a d l : c e tte a p p lic a tio n d e K d a n s [0 , 1]
é ta n t s u rje c tiv e , Card(AT) > C a r d ( [ 0 , 1]).
M a is ^ c [0 , 1] ^ Card(AT) < C a r d ( [ 0 , 1]). D ’o ù Card(K ) = C a r d ( [ 0 , 1]) =
C a r d ( R ) .
K n ’e s t d o n c p a s d é n o m b r a b le .
O n o b tie n t a in s i u n e x e m p le d ’e n s e m b le n o n - d é n o m b r a b le d e m e s u r e n u lle .
K p ossèd e la propriété d*auto-sim ilitude : K e s t l ’h o m o lo g u e d e s a p a rtie K Pi [0 , 1/3]
d a n s l ’h o m o th é tie d e c e n tr e 0 e t d e r a p p o r t 3. P lu s g é n é r a le m e n t, c ’e s t l ’h o m o lo g u e
d e A" n [0 , 1 /3 ''] d a n s l ’h o m o th é tie d e c e n tr e 0 e t d e r a p p o r t 3 ".
222