Annexe б : Fractales
S i o n ô te le tie rs ( o u v e r t) m ilie u d e c h a c u n d e s d e u x s e g m e n ts c o n s titu a n t A"i, o n
o b tie n t u n n o u v e l e n s e m b le f e r m é K 2 = [0 , 1/9] U [2 /9 , 3 /9 ] U [6 /9 , 7 /9 ] U [8 /9 , 1],
r é u n io n d e 4 s e g m e n ts . S a m e s u r e e s t (2 /3 )^ .
R é ité r o n s le p r o c é d é : ^,+1 s ’o b tie n t p a r r e tr a it d u tie r s m ilie u d e c h a q u e s e g m e n t
c o n s titu a n t Kl. L a m e s u r e d e Ki e s t ( 2 /3 ) ^ O n o b tie n t a in s i u n e s u ite in fin ie Ki d e
f e r m é s , d é c r o is s a n te p o u r l ’in c lu s io n .
P a r d é fin itio n , le u r in te r s e c tio n K =
Ki e s t l’ensemble triadique de Cantor.
/€N
C onstruction des fer m és K i d ont K est ^intersection
Ensemble initial A T o = [0, 1] : 1 segment, mesure 1
0
Ensemble K\ : 2 segments, mesure 2/3
Ensemble K2 : 4 segments, mesure (2/3)'
Ensemble А Г 3 : 8 segments, mesure (2/3)'
Ensemble A4 : 16 segments, mesure (2/3)"
0
1
■a
O
c
D
Û
t H
O
ГМ
ai
'1 ^
>C L
O
U
Q
@
K et récriture ternaire
O n r a p p e lle q u e to u t ré e l d e [0 , 1] p o s s è d e u n e o u d e u x é c r itu r e s te r n a ir e s d e la f o r m e
0 ,
û 2 <33 • • • a v e c ai = 0, 1 o u 2.
U n n o m b r e ternaire ( c ’e s t- à - d ir e q u o tie n t d ’u n e n tie r p a r u n e p u is s a n c e d e 3 ) p o s
s è d e d eu x d é v e lo p p e m e n ts te r n a ir e s . D o n n o n s d e u x e x e m p le s :
- l ’e n tie r 1 s ’é c r it in d if f é r e m m e n t 1,000 • • • o u 0 , 222 • • • ;
- le r a tio n n e l 7 /9 s ’é c r it in d if f é r e m m e n t 0 , 2 1 0 0 0 • • • o u 0 ,2 0 2 2 2 • • •
U n n o m b r e non-ternaire, r a tio n n e l o u n o n , a u n d é v e lo p p e m e n t te r n a ir e u nique.
P a r e x e m p le , le r a tio n n e l 1/2 s ’é c r it 0 ,1 1 1 1 • • •
• K\ s ’o b tie n t e n ô ta n t à
le s n o m b re s p o u r le s q u e ls a\ e s t u n iq u e e t v a u t 1.
O n n e r e tire d o n c n i 1/3 = 0 ,1 0 0 0 • • • = 0 ,0 2 2 2 • • •,
ni 2 /3 = 0 ,1 2 2 2 • • • = 0 ,2 0 0 0 • • • , d o n t le a\ n ’e s t p a s u n iq u e .
221
S i o n ô te le tie rs ( o u v e r t) m ilie u d e c h a c u n d e s d e u x s e g m e n ts c o n s titu a n t A"i, o n
o b tie n t u n n o u v e l e n s e m b le f e r m é K 2 = [0 , 1/9] U [2 /9 , 3 /9 ] U [6 /9 , 7 /9 ] U [8 /9 , 1],
r é u n io n d e 4 s e g m e n ts . S a m e s u r e e s t (2 /3 )^ .
R é ité r o n s le p r o c é d é : ^,+1 s ’o b tie n t p a r r e tr a it d u tie r s m ilie u d e c h a q u e s e g m e n t
c o n s titu a n t Kl. L a m e s u r e d e Ki e s t ( 2 /3 ) ^ O n o b tie n t a in s i u n e s u ite in fin ie Ki d e
f e r m é s , d é c r o is s a n te p o u r l ’in c lu s io n .
P a r d é fin itio n , le u r in te r s e c tio n K =
Ki e s t l’ensemble triadique de Cantor.
/€N
C onstruction des fer m és K i d ont K est ^intersection
Ensemble initial A T o = [0, 1] : 1 segment, mesure 1
0
Ensemble K\ : 2 segments, mesure 2/3
Ensemble K2 : 4 segments, mesure (2/3)'
Ensemble А Г 3 : 8 segments, mesure (2/3)'
Ensemble A4 : 16 segments, mesure (2/3)"
0
1
■a
O
c
D
Û
t H
O
ГМ
ai
'1 ^
>C L
O
U
Q
@
K et récriture ternaire
O n r a p p e lle q u e to u t ré e l d e [0 , 1] p o s s è d e u n e o u d e u x é c r itu r e s te r n a ir e s d e la f o r m e
0 ,
û 2 <33 • • • a v e c ai = 0, 1 o u 2.
U n n o m b r e ternaire ( c ’e s t- à - d ir e q u o tie n t d ’u n e n tie r p a r u n e p u is s a n c e d e 3 ) p o s
s è d e d eu x d é v e lo p p e m e n ts te r n a ir e s . D o n n o n s d e u x e x e m p le s :
- l ’e n tie r 1 s ’é c r it in d if f é r e m m e n t 1,000 • • • o u 0 , 222 • • • ;
- le r a tio n n e l 7 /9 s ’é c r it in d if f é r e m m e n t 0 , 2 1 0 0 0 • • • o u 0 ,2 0 2 2 2 • • •
U n n o m b r e non-ternaire, r a tio n n e l o u n o n , a u n d é v e lo p p e m e n t te r n a ir e u nique.
P a r e x e m p le , le r a tio n n e l 1/2 s ’é c r it 0 ,1 1 1 1 • • •
• K\ s ’o b tie n t e n ô ta n t à
le s n o m b re s p o u r le s q u e ls a\ e s t u n iq u e e t v a u t 1.
O n n e r e tire d o n c n i 1/3 = 0 ,1 0 0 0 • • • = 0 ,0 2 2 2 • • •,
ni 2 /3 = 0 ,1 2 2 2 • • • = 0 ,2 0 0 0 • • • , d o n t le a\ n ’e s t p a s u n iq u e .
221