Chapitre 13 • Annexes
■ a
O
c
=3
Q
Ю t H
O
rsl
(y)
C T
>.
Q.
O
U
O n r e m a r q u e q u e le s d im e n s io n s d e c a p a c ité d u s e g m e n t, d u c a r r é e t d u c u b e ( c o n s id é ré s c o m m e p a v é s f e r m é s ) s o n t r e s p e c tiv e m e n t 1, 2 e t 3.
U n c a lc u l é lé m e n ta ir e d e lim ite m o n tr e q u e p o u r X q u e lc o n q u e , la d im e n s io n d e
c a p a c ité n e d é p e n d p a s d e L. O n l ’a p p e lle dimension fractale de X. C ’e s t u n ré e l d u
s e g m e n t [0 , n\.
Exemples
a) Fractales déterministes
1. Ensemble triadique de Cantor (1 883) : l’ensemble triadique de Cantor (ou
« poussière de Cantor »), est l’ensemble K des réels de [0, 1] dont l’écriture
ternaire (c’est-à-dire en base 3) 0, C l\ 0 -2 C I2 • . . Utilise exclusivement les 2 valeurs üi = 0 ou 2, ceci V/ G N*. Un ensemble de ce type intervient par exemple
comme attracteur du système d’ordre 2 à temps discret de Hénon, ce dernier étant lié à la section de Poincaré (trace d’une orbite sur une variété
transverse) du système de Lorenz.
L’ensemble triadique de Cantor fait l’objet de la section suivante.
On trouvera une définition précise des trois fractales suivantes dans
l’énoncé du problèm e 13 .1, ainsi q u ’ une représentation graphique de chacune d ’entre elles.
2. Triangle de Sierpinski (1 91 5) : compact obtenu à partir d’un triangle par
soustractions successives de triangles de tailles décroissantes.
3. Tapis de Sierpinski : compact obtenu à partir d’un carré par soustractions
successives de carrés de tailles décroissantes.
4. Flocon de von Koch (1 904) : compact obtenu à partir d’un triangle (3 segments) par remplacement successif de chaque segment par une ligne brisée
formée de 4 segments.
b) Fractales aléatoires
Une fractale aléatoire : le mouvement brownien à 2 dimensions se modélise
par 2 variables aléatoires X{t) et Y{t) gaussiennes indépendantes, de même loi
yV(0, var= t) et à accroissements indépendants telles que :
Vc g R:, [U{t), V(01= \/c[X{ch), Y{ch)]
est un mouvement brownien de même loi que [X(r), K(r)].
Cette propriété d’invariance statistique par changement d’échelles (spatiale et
temporelle) peut être utilisée pour conjecturer une valeur de la dimension fractale des trajectoires dans R~.
E n s e m b l e t r i a d i q u e d e C a n t o r
Soit Ko le segment réel [0, 1]. Si l’on retire son tiers (ouvert) milieu ]l/3, 2/3[, on
o b tie n t le f e r m é K\ = [0, 1/3] U [2/3, 1], r é u n io n d e d e u x s e g m e n ts .
S a m e s u r e e s t 2 /3 .
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U n c a lc u l é lé m e n ta ir e d e lim ite m o n tr e q u e p o u r X q u e lc o n q u e , la d im e n s io n d e
c a p a c ité n e d é p e n d p a s d e L. O n l ’a p p e lle dimension fractale de X. C ’e s t u n ré e l d u
s e g m e n t [0 , n\.
Exemples
a) Fractales déterministes
1. Ensemble triadique de Cantor (1 883) : l’ensemble triadique de Cantor (ou
« poussière de Cantor »), est l’ensemble K des réels de [0, 1] dont l’écriture
ternaire (c’est-à-dire en base 3) 0, C l\ 0 -2 C I2 • . . Utilise exclusivement les 2 valeurs üi = 0 ou 2, ceci V/ G N*. Un ensemble de ce type intervient par exemple
comme attracteur du système d’ordre 2 à temps discret de Hénon, ce dernier étant lié à la section de Poincaré (trace d’une orbite sur une variété
transverse) du système de Lorenz.
L’ensemble triadique de Cantor fait l’objet de la section suivante.
On trouvera une définition précise des trois fractales suivantes dans
l’énoncé du problèm e 13 .1, ainsi q u ’ une représentation graphique de chacune d ’entre elles.
2. Triangle de Sierpinski (1 91 5) : compact obtenu à partir d’un triangle par
soustractions successives de triangles de tailles décroissantes.
3. Tapis de Sierpinski : compact obtenu à partir d’un carré par soustractions
successives de carrés de tailles décroissantes.
4. Flocon de von Koch (1 904) : compact obtenu à partir d’un triangle (3 segments) par remplacement successif de chaque segment par une ligne brisée
formée de 4 segments.
b) Fractales aléatoires
Une fractale aléatoire : le mouvement brownien à 2 dimensions se modélise
par 2 variables aléatoires X{t) et Y{t) gaussiennes indépendantes, de même loi
yV(0, var= t) et à accroissements indépendants telles que :
Vc g R:, [U{t), V(01= \/c[X{ch), Y{ch)]
est un mouvement brownien de même loi que [X(r), K(r)].
Cette propriété d’invariance statistique par changement d’échelles (spatiale et
temporelle) peut être utilisée pour conjecturer une valeur de la dimension fractale des trajectoires dans R~.
E n s e m b l e t r i a d i q u e d e C a n t o r
Soit Ko le segment réel [0, 1]. Si l’on retire son tiers (ouvert) milieu ]l/3, 2/3[, on
o b tie n t le f e r m é K\ = [0, 1/3] U [2/3, 1], r é u n io n d e d e u x s e g m e n ts .
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