Annexe 6 : Fractales
A n n e x e 6 : F r a c t a l e s
L e s lig n e s , s u rfa c e s , v o lu m e s , ... s o n t d e s ê tr e s g é o m é tr iq u e s d e d im e n s io n s r e s p e c
tiv e s 1, 2, 3 ...
O r, o n p e u t o b s e r v e r (o u d é fin ir) d e s e n s e m b le s g é o m é tr iq u e s p lu s c o m p le x e s p o u r
le s q u e ls il e s t p o s s ib le d e d é fin ir u n e d im e n s io n q u i n ’e s t p a s n é c e s s a ir e m e n t e n tiè re :
u n te l e n s e m b le e s t d it ensemble fractal. O n p e u t a u s s i le d é s ig n e r p a r le s u b s ta n tif
m a s c u lin fractal o u f é m in in fractale, te r m e in v e n té e n 1975 p a r B e n o ît M a n d e lb r o t.
L e te r m e « f r a c ta l » v ie n t d u lutin fr a c tu s , q u i s ig n ifie « b r is é ». Il p e u t se j u s tif ie r
a u ta n t p a r l ’a s p e c t d e lig n e « in f in im e n t b r is é e » d e c e rta in s o b je ts q u ’il d é s ig n e , q u e
p a r l ’a ttr ib u tio n à c e s m ê m e s o b je ts d ’u n e d im e n s io n n o n e n tiè re , d o n c p a r e x e m p le
f r a c tio n n a ir e . A v a n t l ’u tilis a tio n d e c e n é o lo g is m e , o n d é s ig n a it le s fra c ta le s s o u s le
n o m d e « c o u r b e s m o n s tr u e u s e s ».
O n tro u v e d e s f r a c ta le s :
• d a n s la n a t u r e : n u a g e s , c ô te s m a r itim e s , a rb r e s , f o u g è r e s , c h o u x , e tc . ;
• d a n s l ’é tu d e d e s y s t è m e s d y n a m i q u e s : l ’e x e m p le ( 1 9 6 3 ) d u s y s tè m e d e L o r e n z a
d o n n é u n e im p u ls io n à l ’é tu d e d e s s y s tè m e s d its c h a o tiq u e s . R a p p e lo n s l ’é q u a tio n
d ’é v o lu tio n d e c e s y s tè m e , é v o q u é a u c h a p itr e 11 :
[ x , ij, z ] = [cr{y - x), r x - y - x z , xy-bz]
P o u r c e r ta in e s v a le u r s d e s p a r a m è tr e s , le p o r tr a it d e p h a s e s d e c e s y s tè m e p r é
s e n te d a n s
u n a t t r a c t e u r d e d im e n s io n c o m p r is e s tr ic te m e n t e n tre 2 e t 3. P o u r
p r e s q u e to u te c o n d itio n in itia le , la tr a je c to ir e se r a p p r o c h e d e l ’a ttr a c te u r e n u n e
s u ite in fin ie d ’e n r o u le m e n ts d ’a p p a r e n c e e rr a tiq u e .
T J
O
c
D
Q
O
rsl
gj
>•
Q .
O
U
û
©
L a d i m e n s i o n f r a c t a l e
L e s e g m e n t ré e l [0 , L] p e u t ê tr e r e c o u v e r t p a r N {s) = L js s e g m e n ts d e lo n g u e u r s
(L é ta n t u n m u ltip le e n tie r d e s). D e m ê m e , le c a r r é [0 , L Ÿ e s t r e c o u v e r t p a r N {e ) =
{LIe Ÿ c a rr é s d e c ô té s e t le c u b e [0 , L Ÿ p a r N {s) -
c u b e s d ’a rê te L js.
P lu s g é n é r a le m e n t, s o it X u n s o u s - e n s e m b le b o r n é d e R " , q u ’o n s u p p o s e in c lu s
d a n s [0 ,
m o y e n n a n t u n e é v e n tu e lle tr a n s la tio n . M a illo n s le p a v é [0 , L\^ e n
p e tits p a v é s d ’a rê te s = Ljm. L ’e n s e m b le X r e n c o n tr e N {s) ( q u ’o n p o u r ra a u s s i n o te r
N(m )) p e tits p a v é s . E n d ’a u tr e s te r m e s : il f a u t N(m ) p e tits p a v é s d ’a rê te Ljm p o u r
r e c o u v r ir X.
O n a p p e lle dimension de Kolmogorov o u de capacité d e X le n o m b re s u iv a n t,
s ’il e x is te :
r
lnA^(£)
\nN{m)
5(X) = - lirrig^o
= lim,„^oo ■ , ,
ln(£)
ln(m)
219
A n n e x e 6 : F r a c t a l e s
L e s lig n e s , s u rfa c e s , v o lu m e s , ... s o n t d e s ê tr e s g é o m é tr iq u e s d e d im e n s io n s r e s p e c
tiv e s 1, 2, 3 ...
O r, o n p e u t o b s e r v e r (o u d é fin ir) d e s e n s e m b le s g é o m é tr iq u e s p lu s c o m p le x e s p o u r
le s q u e ls il e s t p o s s ib le d e d é fin ir u n e d im e n s io n q u i n ’e s t p a s n é c e s s a ir e m e n t e n tiè re :
u n te l e n s e m b le e s t d it ensemble fractal. O n p e u t a u s s i le d é s ig n e r p a r le s u b s ta n tif
m a s c u lin fractal o u f é m in in fractale, te r m e in v e n té e n 1975 p a r B e n o ît M a n d e lb r o t.
L e te r m e « f r a c ta l » v ie n t d u lutin fr a c tu s , q u i s ig n ifie « b r is é ». Il p e u t se j u s tif ie r
a u ta n t p a r l ’a s p e c t d e lig n e « in f in im e n t b r is é e » d e c e rta in s o b je ts q u ’il d é s ig n e , q u e
p a r l ’a ttr ib u tio n à c e s m ê m e s o b je ts d ’u n e d im e n s io n n o n e n tiè re , d o n c p a r e x e m p le
f r a c tio n n a ir e . A v a n t l ’u tilis a tio n d e c e n é o lo g is m e , o n d é s ig n a it le s fra c ta le s s o u s le
n o m d e « c o u r b e s m o n s tr u e u s e s ».
O n tro u v e d e s f r a c ta le s :
• d a n s la n a t u r e : n u a g e s , c ô te s m a r itim e s , a rb r e s , f o u g è r e s , c h o u x , e tc . ;
• d a n s l ’é tu d e d e s y s t è m e s d y n a m i q u e s : l ’e x e m p le ( 1 9 6 3 ) d u s y s tè m e d e L o r e n z a
d o n n é u n e im p u ls io n à l ’é tu d e d e s s y s tè m e s d its c h a o tiq u e s . R a p p e lo n s l ’é q u a tio n
d ’é v o lu tio n d e c e s y s tè m e , é v o q u é a u c h a p itr e 11 :
[ x , ij, z ] = [cr{y - x), r x - y - x z , xy-bz]
P o u r c e r ta in e s v a le u r s d e s p a r a m è tr e s , le p o r tr a it d e p h a s e s d e c e s y s tè m e p r é
s e n te d a n s
u n a t t r a c t e u r d e d im e n s io n c o m p r is e s tr ic te m e n t e n tre 2 e t 3. P o u r
p r e s q u e to u te c o n d itio n in itia le , la tr a je c to ir e se r a p p r o c h e d e l ’a ttr a c te u r e n u n e
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T J
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L a d i m e n s i o n f r a c t a l e
L e s e g m e n t ré e l [0 , L] p e u t ê tr e r e c o u v e r t p a r N {s) = L js s e g m e n ts d e lo n g u e u r s
(L é ta n t u n m u ltip le e n tie r d e s). D e m ê m e , le c a r r é [0 , L Ÿ e s t r e c o u v e r t p a r N {e ) =
{LIe Ÿ c a rr é s d e c ô té s e t le c u b e [0 , L Ÿ p a r N {s) -
c u b e s d ’a rê te L js.
P lu s g é n é r a le m e n t, s o it X u n s o u s - e n s e m b le b o r n é d e R " , q u ’o n s u p p o s e in c lu s
d a n s [0 ,
m o y e n n a n t u n e é v e n tu e lle tr a n s la tio n . M a illo n s le p a v é [0 , L\^ e n
p e tits p a v é s d ’a rê te s = Ljm. L ’e n s e m b le X r e n c o n tr e N {s) ( q u ’o n p o u r ra a u s s i n o te r
N(m )) p e tits p a v é s . E n d ’a u tr e s te r m e s : il f a u t N(m ) p e tits p a v é s d ’a rê te Ljm p o u r
r e c o u v r ir X.
O n a p p e lle dimension de Kolmogorov o u de capacité d e X le n o m b re s u iv a n t,
s ’il e x is te :
r
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\nN{m)
5(X) = - lirrig^o
= lim,„^oo ■ , ,
ln(£)
ln(m)
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