Annexe 5 : Deux compléments mathématiques
T J
O
c
rj
û
« J D
t H
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q.
O
U
C o m m e À e]a, b [, il e x is te a > 0 tel q u e a +
O n a d o n c , p a r
tr a n s f o r m a tio n a ffin e d e c e tte in é g a lité :
a
+ (N x \x) + a
< /t||jr|r +
I x) < b\\x\\^ + (Nx\x) - a
(B'x\x)
d ’o ù
(a + 6 + a).\\x\f' <
( B 'x \ x )
< (b + 6 - a ).
O r s , d o n c a u s si |^|, p e u t ê tr e c h o is i a r b itr a ir e m e n t fa ib le . P o u r |^| < a j l , la d e r n iè r e
in é g a lité im p liq u e «iwP < { B 'X I jc) <
||x |p . C e c i v a u t d a n s Ei m u n i d e la b a s e ( î;).
O n a u n e in é g a lité a n a lo g u e d a n s c h a c u n d e s s o u s - e s p a c e s Ei s ta b le s p a r A , e t d o n t A
e s t la s o m m e d ire c te . U n e é c r itu r e p lu s p r é c is e d e l ’in é g a lité e s t :
V x 6
a ||x |||, <(B'fX\ x ) e - < b ||x |||, (* )
L a r é u n io n d e s b a s e s (y) d e s Ej e s t u n e b a s e d e E q u ’o n d é c la r e o r th o n o r m é e , c e q u i
d é fin it u n e s tr u c tu r e e u c lid ie n n e d a n s E. P o u r c e tte s tr u c tu r e e u c lid ie n n e , l ’e n d o m o r
p h is m e A a p o u r m a tr ic e A = Yj B'-. Un é lé m e n t x q u e lc o n q u e d e E s e d é c o m p o s e s u r
/
le s Ej e n v e c te u rs s a tis f a is a n t (* ). C o m p te te n u d e l ’o r th o g o n a lité d e s Ej e t d e le u r
s ta b ilité p a r A , la s o m m a tio n d e (* ) s u r i f o u r n it :
<3 I k l l l < {A x I x )e < b | | x | | | , p lu s s im p le m e n t a ||x |p < (A x \x) < b ||x||^ C .Q .F .D .
4^ c a s : B e s t u n b lo c d e J o r d a n d e d im e n s io n 2p a v e c /? > 1, a s s o c ié à un c o u p le ¡d±i(jj
d e v a le u r s p r o p re s c o m p le x e s . L a m a tr ic e B ' e s t u n b lo c d e J o r d a n d o n t le s é lé m e n ts
d ia g o n a u x s o n t d e s m a tr ic e s 2 x 2 : A =
e t le s é lé m e n ts s u rd ia g o n a u x d e s
m a tr ic e s u n ité s I d e d im e n s io n 2 x 2 .
S i o n n o te d ia g A la m a tr ic e b lo c - d ia g o n a le f o r m é e d e s A e t
la m a tr ic e n ilp o te n te
« b lo c - s u r d ia g o n a le », a lo rs : { B 'x \ x ) = ( (d ia g A ) x | x ) + {N x \ x ).
L e r a is o n n e m e n t f a it d a n s le c a s p r é c é d e n t r e s te v a la b le f o r m e lle m e n t.
Condition nécessaire <=
L a c o n d itio n n é c e s s a ir e s ’e x p r im e a in s i : s ’il e x is te u n e v a le u r p r o p r e d d e A d o n t la
p a r tie r é e lle n ’a p p a r tie n t p a s a u s e g m e n t r é e l ] a , b [, a lo rs p o u r to u te n o r m e e u c lid ie n n e Il. Il s u r E , il e x is te x G £ te l q u e (A x | x ) ^ ] a ||x |p , b ||x |p [.
E x a m in o n s le s d e u x c a s : d ré e l o u n o n .
cas a) : d e lE , a v e c d ^ ] a , ¿> [. S o it x u n v e c te u r p r o p r e p o u r d .
( A x |x ) = ( d x |x ) = d ||x |p . C o m m e d ^ R , o n a b ie n ( A x |x ) ^ ] a | | x | p , A ||x |p [
Q
©
cas b) : d ^ lE : d a n s c e c a s , d = yu + io), a v e c p ^ ] a , b [. S o it C =
’P -üj^
M )
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+ (N x \x) + a
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(B'x\x)
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(a + 6 + a).\\x\f' <
( B 'x \ x )
< (b + 6 - a ).
O r s , d o n c a u s si |^|, p e u t ê tr e c h o is i a r b itr a ir e m e n t fa ib le . P o u r |^| < a j l , la d e r n iè r e
in é g a lité im p liq u e «iwP < { B 'X I jc) <
||x |p . C e c i v a u t d a n s Ei m u n i d e la b a s e ( î;).
O n a u n e in é g a lité a n a lo g u e d a n s c h a c u n d e s s o u s - e s p a c e s Ei s ta b le s p a r A , e t d o n t A
e s t la s o m m e d ire c te . U n e é c r itu r e p lu s p r é c is e d e l ’in é g a lité e s t :
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L a r é u n io n d e s b a s e s (y) d e s Ej e s t u n e b a s e d e E q u ’o n d é c la r e o r th o n o r m é e , c e q u i
d é fin it u n e s tr u c tu r e e u c lid ie n n e d a n s E. P o u r c e tte s tr u c tu r e e u c lid ie n n e , l ’e n d o m o r
p h is m e A a p o u r m a tr ic e A = Yj B'-. Un é lé m e n t x q u e lc o n q u e d e E s e d é c o m p o s e s u r
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le s Ej e n v e c te u rs s a tis f a is a n t (* ). C o m p te te n u d e l ’o r th o g o n a lité d e s Ej e t d e le u r
s ta b ilité p a r A , la s o m m a tio n d e (* ) s u r i f o u r n it :
<3 I k l l l < {A x I x )e < b | | x | | | , p lu s s im p le m e n t a ||x |p < (A x \x) < b ||x||^ C .Q .F .D .
4^ c a s : B e s t u n b lo c d e J o r d a n d e d im e n s io n 2p a v e c /? > 1, a s s o c ié à un c o u p le ¡d±i(jj
d e v a le u r s p r o p re s c o m p le x e s . L a m a tr ic e B ' e s t u n b lo c d e J o r d a n d o n t le s é lé m e n ts
d ia g o n a u x s o n t d e s m a tr ic e s 2 x 2 : A =
e t le s é lé m e n ts s u rd ia g o n a u x d e s
m a tr ic e s u n ité s I d e d im e n s io n 2 x 2 .
S i o n n o te d ia g A la m a tr ic e b lo c - d ia g o n a le f o r m é e d e s A e t
la m a tr ic e n ilp o te n te
« b lo c - s u r d ia g o n a le », a lo rs : { B 'x \ x ) = ( (d ia g A ) x | x ) + {N x \ x ).
L e r a is o n n e m e n t f a it d a n s le c a s p r é c é d e n t r e s te v a la b le f o r m e lle m e n t.
Condition nécessaire <=
L a c o n d itio n n é c e s s a ir e s ’e x p r im e a in s i : s ’il e x is te u n e v a le u r p r o p r e d d e A d o n t la
p a r tie r é e lle n ’a p p a r tie n t p a s a u s e g m e n t r é e l ] a , b [, a lo rs p o u r to u te n o r m e e u c lid ie n n e Il. Il s u r E , il e x is te x G £ te l q u e (A x | x ) ^ ] a ||x |p , b ||x |p [.
E x a m in o n s le s d e u x c a s : d ré e l o u n o n .
cas a) : d e lE , a v e c d ^ ] a , ¿> [. S o it x u n v e c te u r p r o p r e p o u r d .
( A x |x ) = ( d x |x ) = d ||x |p . C o m m e d ^ R , o n a b ie n ( A x |x ) ^ ] a | | x | p , A ||x |p [
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