Chapitre 13 • Annexes
1^*" cas : B e s t s e m i- s im p le e t E / e s t a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p re r é e lle À.
A lo r s , n o ta n t ( . I . ) le p r o d u it s c a la ir e d a n s E /, o n a :
{ S x I x) = (Àx I x) = À{x I x ) = /1 II X 11^
e t la p r o p r ié té s ’e n d é d u it.
2® cas : B e s t s e m i- s im p le e t E,- e s t a s s o c ié à u n c o u p le d e v a le u r s p r o p re s c o m p le x e s
jj. ± iùj. A lo r s , d é s ig n a n t p a r R la r o ta tio n d ’a n g le + ;r/2 , o n a :
B = /JI ùjR, d ’o ù {B x I x) = (jjx -h ùjRx | x ) = yu|| x || e t la p r o p r ié té e n d é c o u le .
■ O
O
c
n
û
« J D
t H
O
CM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
3^ c a s : B e s t u n b lo c d e J o r d a n d e d im e n s io n p > 1 a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p re
r é e lle À. S o it {u) = {u\, W2> • • •) la b a s e d e E,- d a n s la q u e lle B e s t s o u s f o r m e r é d u ite
d e J o rd a n . O n d é fin it la n o u v e lle b a s e {v) p a r Vk =
(/c = 1 à /?) a v e c £: > 0.
(À 1 0^
P r e n o n s P = 3 p o u r a llé g e r le s n o ta tio n s . D a n s la b a s e {u), B = 0 d 1
[o 0 À,
i\ 0 0 ^
O s 0
.0 0 «2
(À s O'!
0 À s
fi OA,
v a u t p o u r to u t P : B ' e s t c o n s titu é e d ’u n e d ia g o n a le d e « A » e t d ’u n e s u r d ia g o n a le d e
« s » : d a n s E /, B ' = AI + N où I e s t la m a tr ic e u n ité d e d im e n s io n p x p et N Vd
m a tr ic e n ilp o te n te c o m p o s é e d ’u n e s u r d ia g o n a le d e « e p s ilo n » e t c o m p lé té e p a r d e s
z é ro s . A v e c la s tr u c tu r e e u c lid ie n n e r e n d a n t (i;) o r th o n o r m é e , o n a :
L a m a tr ic e d e c h a n g e m e n t d e b a s e d e (u) v e rs (î;) e s t : E =
d e l ’e n d o m o r p h is m e d a n s la b a s e ( î;) e s t d o n c B ' = P ^ B P =
e t la m a tr ic e
. C e r é s u lta t
( B 'x I x) = (AIx I x) + (N x I x) = d ||x ||^ + (N x \ x)
P r e n o n s p o u r to u te m a tr ic e M la n o r m e ||M || = supu^n^, ||A /.x ||, o ù
d é s ig n e n t le s n o r m e s de x et M .x d a n s la s tr u c tu r e e u c lid ie n n e a d o p té e .
A lo r s , IIA/'II = é: e t, d a n s E / :
e t IIM .xll
|(A^.rU)| < ||A^x||.|W|
<
<
( in é g a lité d e C a u c h y - S c h w a r z )
( p r o p r ié té d e ||A^||)
C o m m e IIA’H = e , o n a (N x \x) = 0 \\x\f-, a v e c 6 e] - s , + s[
216
1^*" cas : B e s t s e m i- s im p le e t E / e s t a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p re r é e lle À.
A lo r s , n o ta n t ( . I . ) le p r o d u it s c a la ir e d a n s E /, o n a :
{ S x I x) = (Àx I x) = À{x I x ) = /1 II X 11^
e t la p r o p r ié té s ’e n d é d u it.
2® cas : B e s t s e m i- s im p le e t E,- e s t a s s o c ié à u n c o u p le d e v a le u r s p r o p re s c o m p le x e s
jj. ± iùj. A lo r s , d é s ig n a n t p a r R la r o ta tio n d ’a n g le + ;r/2 , o n a :
B = /JI ùjR, d ’o ù {B x I x) = (jjx -h ùjRx | x ) = yu|| x || e t la p r o p r ié té e n d é c o u le .
■ O
O
c
n
û
« J D
t H
O
CM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
3^ c a s : B e s t u n b lo c d e J o r d a n d e d im e n s io n p > 1 a s s o c ié à u n e v a le u r p r o p re
r é e lle À. S o it {u) = {u\, W2> • • •) la b a s e d e E,- d a n s la q u e lle B e s t s o u s f o r m e r é d u ite
d e J o rd a n . O n d é fin it la n o u v e lle b a s e {v) p a r Vk =
(/c = 1 à /?) a v e c £: > 0.
(À 1 0^
P r e n o n s P = 3 p o u r a llé g e r le s n o ta tio n s . D a n s la b a s e {u), B = 0 d 1
[o 0 À,
i\ 0 0 ^
O s 0
.0 0 «2
(À s O'!
0 À s
fi OA,
v a u t p o u r to u t P : B ' e s t c o n s titu é e d ’u n e d ia g o n a le d e « A » e t d ’u n e s u r d ia g o n a le d e
« s » : d a n s E /, B ' = AI + N où I e s t la m a tr ic e u n ité d e d im e n s io n p x p et N Vd
m a tr ic e n ilp o te n te c o m p o s é e d ’u n e s u r d ia g o n a le d e « e p s ilo n » e t c o m p lé té e p a r d e s
z é ro s . A v e c la s tr u c tu r e e u c lid ie n n e r e n d a n t (i;) o r th o n o r m é e , o n a :
L a m a tr ic e d e c h a n g e m e n t d e b a s e d e (u) v e rs (î;) e s t : E =
d e l ’e n d o m o r p h is m e d a n s la b a s e ( î;) e s t d o n c B ' = P ^ B P =
e t la m a tr ic e
. C e r é s u lta t
( B 'x I x) = (AIx I x) + (N x I x) = d ||x ||^ + (N x \ x)
P r e n o n s p o u r to u te m a tr ic e M la n o r m e ||M || = supu^n^, ||A /.x ||, o ù
d é s ig n e n t le s n o r m e s de x et M .x d a n s la s tr u c tu r e e u c lid ie n n e a d o p té e .
A lo r s , IIA/'II = é: e t, d a n s E / :
e t IIM .xll
|(A^.rU)| < ||A^x||.|W|
<
<
( in é g a lité d e C a u c h y - S c h w a r z )
( p r o p r ié té d e ||A^||)
C o m m e IIA’H = e , o n a (N x \x) = 0 \\x\f-, a v e c 6 e] - s , + s[
216