Annexe 5 : Deux compléments mathématiques
A n n e x e 5 : D e u x c o m p l é m e n t s
M A T H É M A T I Q U E S
U n r a p p e l d ’a n a l y s e c o m p l e x e
S o it A u n e n d o m o r p h is m e d e R " d e p o ly n ô m e c a r a c té r is tiq u e P(z), e t À u n e r a c in e d e
P(z), d ’o r d r e d e m u ltip lic ité k. A lo r s , P(z) = ( z - ÀŸ Q{z), o ù Q{z) e st u n p o ly n ô m e
te l q u e Q(À) 9^: 0. O n a P'(z) - k { z -
Q(z) + (z - d / Q '(z).
L a f o n c tio n
O n a : Res
P'iz) ^
^
P{z)
z - Ä
k
Q'(z)
+
Q'(z)
Qiz)
e s t h o lo m o r p h e s u r C p riv é d e s r a c in e s d e P.
+
z - d
c a r 2 ( d ) 4 ^ 0 = » Res
; d > = Res
z - A
; d > (Res d é s ig n e le r é s id u )
Q(z)^
; d l = 0. P a r c o n s é q u e n t, Res | — ; d l = /:.
Q(z)
I
^
’
1 P
J
C o n s id é r o n s m a in te n a n t u n c o n to u r P f ro n tiè r e d ’u n d o m a in e c o m p r e n a n t y r a
c in e s A l , , A y de P (a v e c d o n c 0 < y < « ). A lo r s , le th é o r è m e d e s ré s id u s im p liq u e ,
p o u r r s a tis f a is a n t le s h y p o th è s e s d e c e th é o r è m e :
- r
lÎTT J r
P '( z )
fr P(z)
o ù k j e s t l ’o r d re d e m u ltip lic ité d e A i
d z = kl + . . . + ky
U n l e m m e d ’a l g è b r e
S o it A u n e n d o m o r p h is m e d ’u n e s p a c e v e c to r ie l E d e d im e n s io n fin ie . A lo r s :
• a
O
c
=3
Q
(O
O
r\i
(y)
A->
X I
03
>•
C L
O
U
Lemme d’encadrement
U n e c o n d itio n n é c e s s a ir e e t s u ffis a n te p o u r q u e la p a r tie r é e lle d e to u te v a le u r
p r o p r e d e A a p p a r tie n n e a u s e g m e n t r é e l ]a, b [ e s t q u ’il e x is te u n e n o r m e e u c lid ie n n e Il. Il s u r E te lle q u e 4x e E, a ||x |p < (Ax \x) < b
Condition suffisante
a
@
La d ém o n stra tio n q u i su it e s t a s s e z tech niqu e. On p o u r r a en p re m iè re lectu re se lim ite r aux deu x p r e m ie r s cas, q u i so n t p lu s intuitifs qu e les su ivan ts.
P la ç o n s n o u s d a n s l ’u n d e s s o u s - e s p a c e s E / s ta b le s p a r A é v o q u é s d a n s c e liv re . L a
b a s e d e E , d a n s la q u e lle A e s t s o u s f o r m e r é d u ite ( a n n e x e 4 ) e s t c h o is ie o r th o n o r m é e ,
c e q u i d é te r m in e u n e s tr u c tu r e e u c lid ie n n e d a n s E /. N o u s a p p e lle r o n s B la r e s tr ic tio n
d e A à E /.
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A n n e x e 5 : D e u x c o m p l é m e n t s
M A T H É M A T I Q U E S
U n r a p p e l d ’a n a l y s e c o m p l e x e
S o it A u n e n d o m o r p h is m e d e R " d e p o ly n ô m e c a r a c té r is tiq u e P(z), e t À u n e r a c in e d e
P(z), d ’o r d r e d e m u ltip lic ité k. A lo r s , P(z) = ( z - ÀŸ Q{z), o ù Q{z) e st u n p o ly n ô m e
te l q u e Q(À) 9^: 0. O n a P'(z) - k { z -
Q(z) + (z - d / Q '(z).
L a f o n c tio n
O n a : Res
P'iz) ^
^
P{z)
z - Ä
k
Q'(z)
+
Q'(z)
Qiz)
e s t h o lo m o r p h e s u r C p riv é d e s r a c in e s d e P.
+
z - d
c a r 2 ( d ) 4 ^ 0 = » Res
; d > = Res
z - A
; d > (Res d é s ig n e le r é s id u )
Q(z)^
; d l = 0. P a r c o n s é q u e n t, Res | — ; d l = /:.
Q(z)
I
^
’
1 P
J
C o n s id é r o n s m a in te n a n t u n c o n to u r P f ro n tiè r e d ’u n d o m a in e c o m p r e n a n t y r a
c in e s A l , , A y de P (a v e c d o n c 0 < y < « ). A lo r s , le th é o r è m e d e s ré s id u s im p liq u e ,
p o u r r s a tis f a is a n t le s h y p o th è s e s d e c e th é o r è m e :
- r
lÎTT J r
P '( z )
fr P(z)
o ù k j e s t l ’o r d re d e m u ltip lic ité d e A i
d z = kl + . . . + ky
U n l e m m e d ’a l g è b r e
S o it A u n e n d o m o r p h is m e d ’u n e s p a c e v e c to r ie l E d e d im e n s io n fin ie . A lo r s :
• a
O
c
=3
Q
(O
O
r\i
(y)
A->
X I
03
>•
C L
O
U
Lemme d’encadrement
U n e c o n d itio n n é c e s s a ir e e t s u ffis a n te p o u r q u e la p a r tie r é e lle d e to u te v a le u r
p r o p r e d e A a p p a r tie n n e a u s e g m e n t r é e l ]a, b [ e s t q u ’il e x is te u n e n o r m e e u c lid ie n n e Il. Il s u r E te lle q u e 4x e E, a ||x |p < (Ax \x) < b
Condition suffisante
a
@
La d ém o n stra tio n q u i su it e s t a s s e z tech niqu e. On p o u r r a en p re m iè re lectu re se lim ite r aux deu x p r e m ie r s cas, q u i so n t p lu s intuitifs qu e les su ivan ts.
P la ç o n s n o u s d a n s l ’u n d e s s o u s - e s p a c e s E / s ta b le s p a r A é v o q u é s d a n s c e liv re . L a
b a s e d e E , d a n s la q u e lle A e s t s o u s f o r m e r é d u ite ( a n n e x e 4 ) e s t c h o is ie o r th o n o r m é e ,
c e q u i d é te r m in e u n e s tr u c tu r e e u c lid ie n n e d a n s E /. N o u s a p p e lle r o n s B la r e s tr ic tio n
d e A à E /.
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